গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বর্গের বাহু $m$ হলে কর্ণ $= m\sqrt{2}$ এবং বাহু $n$ হলে কর্ণ $= n\sqrt{2}$।
   কর্ণদ্বয়ের অনুপাত $= m\sqrt{2} : n\sqrt{2} = \mathbf{m : n}$।

2. খ)

   ধরি $\dfrac{p}{q} = \dfrac{q}{r} = \dfrac{r}{s} = k$। তাহলে $r = sk,\ q = rk = sk^2,\ p = qk = sk^3$।
   বামপক্ষ: $p^2 - q^2 + r^2 = s^2(k^6 - k^4 + k^2) = s^2k^2(k^4 - k^2 + 1)$
   এবং $q^2 - r^2 + s^2 = s^2(k^4 - k^2 + 1)$
   তাই বামপক্ষ $= s^4k^2(k^4 - k^2 + 1)^2$
   ডানপক্ষ: $pq - qr + rs = s^2(k^5 - k^3 + k) = s^2k(k^4 - k^2 + 1)$
   তাই ডানপক্ষ $= s^4k^2(k^4 - k^2 + 1)^2$। বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

3. গ)

   $\dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a+b}{ab}$, তাই $x = \dfrac{2ab}{a+b}$।
   $\dfrac{x}{a} = \dfrac{2b}{a+b}$ ও $\dfrac{x}{b} = \dfrac{2a}{a+b}$।
   $\dfrac{x+a}{x-a} = \dfrac{\frac{x}{a}+1}{\frac{x}{a}-1} = \dfrac{2b+a+b}{2b-a-b} = \dfrac{a+3b}{b-a}$
   $\dfrac{x+b}{x-b} = \dfrac{\frac{x}{b}+1}{\frac{x}{b}-1} = \dfrac{2a+a+b}{2a-a-b} = \dfrac{3a+b}{a-b} = -\dfrac{3a+b}{b-a}$
   যোগ করে $\dfrac{a+3b-3a-b}{b-a} = \dfrac{2(b-a)}{b-a} = 2$। (প্রমাণিত)