উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[2−11],B=[−231],C=[−3622−2−1−232],D=[103] এবং X=[xyz]A=\left[\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll} -2 & 3 & 1 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc} -3 & 6 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \end{array}\right], D=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right] \text { এবং } X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right] .

  1. ক)

    দেখাও যে, [2−3−5−1451−3−4]\left[\begin{array}{ccc}2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4\end{array}\right] একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স।

    (2)
  2. খ)

    (AB)2+AB−3I3(A B)^{2}+A B-3 I_{3} নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    CX=D C X=D সমীকরণ জোট নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, P=[2−3−5−1451−3−4]P = \begin{bmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{bmatrix}

    এখন,
    P2=P⋅P=[2−3−5−1451−3−4][2−3−5−1451−3−4]P^2 = P \cdot P = \begin{bmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{bmatrix}
    =[4+3−5−6−12+15−10−15+20−2−4+53+16−155+20−202+3−4−3−12+12−5−15+16]= \begin{bmatrix} 4+3-5 & -6-12+15 & -10-15+20 \\ -2-4+5 & 3+16-15 & 5+20-20 \\ 2+3-4 & -3-12+12 & -5-15+16 \end{bmatrix}
    =[2−3−5−1451−3−4]=P= \begin{bmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{bmatrix} = P

    যেহেতু P2=PP^2 = P, সুতরাং প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি সমঘাতী (Idempotent) ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A=[2−11]A = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} এবং B=[−231]B = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \end{bmatrix}

    অতএব,
    AB=[2−11][−231]=[−4622−3−1−231]AB = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 6 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & 3 & 1 \end{bmatrix}

    এবং BA=[−2(2)+3(−1)+1(1)]=[−4−3+1]=[−6]BA = [-2(2) + 3(-1) + 1(1)] = [-4 - 3 + 1] = [-6]

    সুতরাং,
    (AB)2=(AB)(AB)=A(BA)B=A(−6)B=−6(AB)(AB)^2 = (AB)(AB) = A(BA)B = A(-6)B = -6(AB)

    অতএব,
    (AB)2+AB−3I3=−6AB+AB−3I3=−5AB−3I3(AB)^2 + AB - 3I_3 = -6AB + AB - 3I_3 = -5AB - 3I_3

    এখন,
    −5AB=−5[−4622−3−1−231]=[20−30−10−1015510−15−5]-5AB = -5 \begin{bmatrix} -4 & 6 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & -30 & -10 \\ -10 & 15 & 5 \\ 10 & -15 & -5 \end{bmatrix}

    এবং 3I3=[300030003]3I_3 = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}

    সুতরাং,
    (AB)2+AB−3I3=[20−30−10−1015510−15−5]−[300030003]=[17−30−10−1012510−15−8](AB)^2 + AB - 3I_3 = \begin{bmatrix} 20 & -30 & -10 \\ -10 & 15 & 5 \\ 10 & -15 & -5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & -30 & -10 \\ -10 & 12 & 5 \\ 10 & -15 & -8 \end{bmatrix}

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ জোট: CX=DCX = D
    [−3622−2−1−232][xyz]=[103]\begin{bmatrix} -3 & 6 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}

    এখানে,
    DC=∣−3622−2−1−232∣D_C = \begin{vmatrix} -3 & 6 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix}
    =−3(−4+3)−6(4−2)+2(6−4)=−3(−1)−6(2)+2(2)=3−12+4=−5≠0= -3(-4 + 3) - 6(4 - 2) + 2(6 - 4) = -3(-1) - 6(2) + 2(2) = 3 - 12 + 4 = -5 \neq 0

    Dx=∣1620−2−1332∣D_x = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 0 & -2 & -1 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix}
    =1(−4+3)−6(0+3)+2(0+6)=1(−1)−6(3)+2(6)=−1−18+12=−7= 1(-4 + 3) - 6(0 + 3) + 2(0 + 6) = 1(-1) - 6(3) + 2(6) = -1 - 18 + 12 = -7
    [সংশোধিত গণনা: DxD_x: 1(−4+3)−6(0−(−3))+2(0−(−6))=−1−18+12=−71(-4+3) - 6(0 - (-3)) + 2(0 - (-6)) = -1 - 18 + 12 = -7]

    Dy=∣−31220−1−232∣D_y = \begin{vmatrix} -3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix}
    =−3(0+3)−1(4−2)+2(6−0)=−3(3)−1(2)+2(6)=−9−2+12=1= -3(0 + 3) - 1(4 - 2) + 2(6 - 0) = -3(3) - 1(2) + 2(6) = -9 - 2 + 12 = 1

    Dz=∣−3612−20−233∣D_z = \begin{vmatrix} -3 & 6 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 3 \end{vmatrix}
    =−3(−6−0)−6(6−0)+1(6−4)=18−36+2=−16= -3(-6 - 0) - 6(6 - 0) + 1(6 - 4) = 18 - 36 + 2 = -16

    অতএব, নির্ণায়কের সাহায্যে (Cramer's rule):
    x=DxDC=−7−5=75x = \frac{D_x}{D_C} = \frac{-7}{-5} = \frac{7}{5}
    y=DyDC=1−5=−15y = \frac{D_y}{D_C} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}
    z=DzDC=−16−5=165z = \frac{D_z}{D_C} = \frac{-16}{-5} = \frac{16}{5}

    নির্ণেয় সমাধান: x=75x = \frac{7}{5}, y=−15y = -\frac{1}{5}, z=165z = \frac{16}{5}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন