পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই সরলরেখা বরাবর অথবা পরস্পর সমান্তরালে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি অশূন্য ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হতে পারে যদি ভেক্টরদ্বয় পরস্পরের সাথে লম্বভাবে অবস্থান করে (কোণ ৯০° হয়)। কারণ $|\vec{P}+\vec{Q}|^2 = |\vec{P}-\vec{Q}|^2$ হলে $4\vec{P}\cdot\vec{Q} = 0$ হয়, অর্থাৎ $\vec{P} \perp \vec{Q}$। আর ভেক্টর হিসেবে সমান $(\vec{P}+\vec{Q} = \vec{P}-\vec{Q})$ হতে হলে একটি ভেক্টর শূন্য হতে হবে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর তলের লম্বদিকের ভেক্টর হলো:
   $\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 6 \end{vmatrix} = \hat{i}(24-1) - \hat{j}(18-1) + \hat{k}(-3+4) = 23\hat{i} - 17\hat{j} + \hat{k}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $\vec{C}$ এর ডাইভারজেন্স:
   $\nabla \cdot \vec{C} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2y) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2z) + \frac{\partial}{\partial z}(x^2y^2z^2) = 4xy + 2yz + 2x^2y^2z$
   (2, -1, 2) বিন্দুতে:
   $\nabla \cdot \vec{C} = 4(2)(-1) + 2(-1)(2) + 2(2)^2(-1)^2(2) = -8 - 4 + 16 = +4$
   যেহেতু ডাইভারজেন্স ধনাত্মক (+4 > 0), তাই ভেক্টরক্ষেত্রটি উক্ত বিন্দুতে তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে।