গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $A:B=\frac12=1:2$ এবং $B:C=\frac34=3:4$

   $B$ এর মান সমান করতে $2$ ও $3$ এর ল.সা.গু. $6$ নিয়ে পাই $A:B=3:6$, $B:C=6:8$। তাই $A:B:C=3:6:8$

   $C:D=\frac56=5:6$; $C$ এর মান $8$ ও $5$ এর ল.সা.গু. $40$ করে পাই $A:B:C=15:30:40$ এবং $C:D=40:48$

   $\therefore A:B:C:D=\mathbf{15:30:40:48}$

2. খ)

   $P=\frac{3\cdot2^x-4\cdot2^{x-2}}{2^x-2^{x-1}}=\frac{2^x(3-1)}{2^x(1-\frac12)}=\frac{2}{\frac12}=4$

   $Q=\frac{2^{x+1}-2^{x-1}}{3\cdot2^x-4\cdot2^{x-2}}=\frac{2^x(2-\frac12)}{2^x\cdot2}=\frac{3/2}{2}=\frac34$

   $R=\frac{3^{x+3}-5\cdot3^{x+1}}{3^{x+2}\div3}=\frac{3^{x+1}(9-5)}{3^{x+1}}=4$

   $\therefore PQR=4\times\frac34\times4=12$

   এখন, $\frac{25^{x+1}}{(5^{x-1})^{x+1}}=\frac{5^{2x+2}}{5^{x^2-1}}=5^{-x^2+2x+3}$

   এবং $\frac{5^{x+1}}{(5^x)^{x-1}}=\frac{5^{x+1}}{5^{x^2-x}}=5^{-x^2+2x+1}$

   বামপক্ষ $=12\times5^{-x^2+2x+3}\div5^{-x^2+2x+1}=12\times5^2=12\times25=300$ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

3. গ)

   দেওয়া আছে, $8p^{-1}=a^{-1}+b^{-1}$

   $\Rightarrow\frac8p=\frac{a+b}{ab}\Rightarrow p(a+b)=8ab$ ......(i)

   বামপক্ষ $=\frac{(p+4a)(p-4b)+(p+4b)(p-4a)}{(p-4a)(p-4b)}$

   সংখ্যক $=p^2-4bp+4ap-16ab+p^2-4ap+4bp-16ab=2p^2-32ab$

   হর $=p^2-4p(a+b)+16ab=p^2-4\cdot8ab+16ab$ [(i) থেকে]$=p^2-16ab$

   $\therefore$ বামপক্ষ $=\frac{2(p^2-16ab)}{p^2-16ab}=2$ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)