গণিত • ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratio) • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৩

গণিত প্রশ্ন

X=tan⁡θ,Y=cot⁡θX=\tan \theta, Y=\cot \theta এবং Z=sin⁡θZ=\sin \theta

  1. ক)

    X=512X=\frac{5}{12} হলে, Z এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, X1−Y+Y1−X=X+Y+1\frac{\mathrm{X}}{1-\mathrm{Y}}+\frac{\mathrm{Y}}{1-\mathrm{X}}=\mathrm{X}+\mathrm{Y}+1 .

    (2)
  3. গ)

    দেখাও যে, (X+Z)2−(X−Z)2=4X2−Z2(\mathrm{X}+\mathrm{Z})^{2}-(\mathrm{X}-\mathrm{Z})^{2}=4 \sqrt{\mathrm{X}^{2}-\mathrm{Z}^{2}}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    X=tan⁡θ=512X = \tan\theta = \frac{5}{12} হলে লম্ব =5= 5, ভূমি =12= 12। অতিভুজ =52+122=169=13= \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13।

    Z=sin⁡θ=লম্বঅতিভুজ=513Z = \sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \mathbf{\frac{5}{13}}

  2. খ)

    দেওয়া আছে, X=tan⁡θX = \tan\theta এবং Y=cot⁡θ=1XY = \cot\theta = \frac{1}{X}।

    বামপক্ষ =X1−Y+Y1−X=X1−1X+1X1−X= \frac{X}{1 - Y} + \frac{Y}{1 - X} = \frac{X}{1 - \frac{1}{X}} + \frac{\frac{1}{X}}{1 - X}
    =X2X−1+1X(1−X)=X2X−1−1X(X−1)= \frac{X^2}{X - 1} + \frac{1}{X(1 - X)} = \frac{X^2}{X-1} - \frac{1}{X(X-1)}
    =X3−1X(X−1)=(X−1)(X2+X+1)X(X−1)=X2+X+1X= \frac{X^3 - 1}{X(X-1)} = \frac{(X-1)(X^2 + X + 1)}{X(X-1)} = \frac{X^2 + X + 1}{X}
    =X+1+1X=X+Y+1== X + 1 + \frac{1}{X} = X + Y + 1 = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    বামপক্ষ =(X+Z)2−(X−Z)2=4XZ=4tan⁡θsin⁡θ= (X+Z)^2 - (X-Z)^2 = 4XZ = 4\tan\theta\sin\theta ... (i)

    ডানপক্ষ =4X2−Z2=4tan⁡2θ−sin⁡2θ= 4\sqrt{X^2 - Z^2} = 4\sqrt{\tan^2\theta - \sin^2\theta}
    =4sin⁡2θ(1cos⁡2θ−1)=4sin⁡2θ⋅1−cos⁡2θcos⁡2θ= 4\sqrt{\sin^2\theta\left(\frac{1}{\cos^2\theta} - 1\right)} = 4\sqrt{\sin^2\theta\cdot\frac{1 - \cos^2\theta}{\cos^2\theta}}
    =4sin⁡2θ⋅tan⁡2θ=4sin⁡θtan⁡θ= 4\sqrt{\sin^2\theta\cdot\tan^2\theta} = 4\sin\theta\tan\theta ... (ii) (θ\theta সূক্ষ্মকোণ)

    (i) ও (ii) থেকে, বামপক্ষ = ডানপক্ষ। (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন