উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, z = -2i
   $\Rightarrow -2i = 1 - 2i - 1 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = (1 - i)^2$

   অতএব, -2i এর বর্গমূল:
   $\sqrt{-2i} = \pm (1 - i)$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $p(x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a)$
   $= (x^2 - (a+b)x + ab) + (x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (c+a)x + ca)$
   $= 3x^2 - 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca)$

   যেহেতু $p(x)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ, তাই $p(x) = 0$ সমীকরণের পৃথায়ক বা নিশ্চয়ক ($D$) শূন্য হবে।
   অতএব, $D = 0$
   $\Rightarrow [-2(a + b + c)]^2 - 4 \cdot 3 \cdot (ab + bc + ca) = 0$
   $\Rightarrow 4(a + b + c)^2 - 12(ab + bc + ca) = 0$
   উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = 0$
   $\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - 3ab - 3bc - 3ca = 0$
   $\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$
   উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
   $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0$
   $\Rightarrow (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) = 0$
   $\Rightarrow (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$

   যেহেতু একাধিক বাস্তব রাশির বর্গের সমষ্টি শূন্য, তাই তারা পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হবে।
   $\therefore (a - b)^2 = 0 \Rightarrow a = b$
   $(b - c)^2 = 0 \Rightarrow b = c$
   $(c - a)^2 = 0 \Rightarrow c = a$

   $\therefore a = b = c$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   (i) নং সমীকরণ: $ax^2 + bx + c = 0$
   (ii) নং সমীকরণ: $cx^2 - 2bx + 4a = 0$

   (i) ও (ii) উভয় সমীকরণের একটি সাধারণ মূল হলো $\beta$।
   অতএব, $\beta$ দ্বারা উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হবে:
   $a\beta^2 + b\beta + c = 0 ... (1)$
   $c\beta^2 - 2b\beta + 4a = 0 ... (2)$

   বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
   $\frac{\beta^2}{4ab - (-2bc)} = \frac{\beta}{c^2 - 4a^2} = \frac{1}{-2ab - bc}$
   $\Rightarrow \frac{\beta^2}{2b(2a + c)} = \frac{\beta}{c^2 - 4a^2} = \frac{1}{-b(2a + c)}$

   প্রথম ও তৃতীয় অনুপাত হতে,
   $\beta^2 = \frac{2b(2a + c)}{-b(2a + c)} = -2$

   দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত হতে,
   $\beta = \frac{c^2 - 4a^2}{-b(2a + c)} = \frac{(c - 2a)(c + 2a)}{-b(2a + c)}$

   যদি $2a + c \neq 0$ হয়, তবে কাটাকাটি করে পাই,
   $\beta = \frac{c - 2a}{-b} = \frac{2a - c}{b}$

   এখন, $\beta^2 = -2$ সমীকরণে $\beta-$ এর মান বসিয়ে পাই,
   $\left(\frac{2a - c}{b}\right)^2 = -2$
   $\Rightarrow \frac{(2a - c)^2}{b^2} = -2$
   $\Rightarrow (2a - c)^2 = -2b^2$
   $\Rightarrow (2a - c)^2 + 2b^2 = 0$

   আর যদি 2a + c = 0 হয়, তবে সাধারণ মূলের শর্ত সরাসরি সিদ্ধ হয়।

   অতএব, 2a + c = 0 অথবা $(2a - c)^2 + 2b^2 = 0$। (প্রমাণিত)