গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $p^২ - ২pq + ৪q - ৪ = (p^২ - ৪) - ২q(p - ২)$

   $= (p+২)(p-২) - ২q(p-২)$

   $= (p - ২)(p + ২ - ২q)$

2. খ)

   $m^৪n^২ + m^২n^৪ = m^২n^২(m^২ + n^২)$

   $m^২ + n^২ = \dfrac{(m+n)^২ + (m-n)^২}{২} = \dfrac{১১ + ৫}{২} = ৮$

   $mn = \dfrac{(m+n)^২ - (m-n)^২}{৪} = \dfrac{১১ - ৫}{৪} = \dfrac{৩}{২}$, তাই $m^২n^২ = \dfrac{৯}{৪}$

   সুতরাং, মান $= \dfrac{৯}{৪} \times ৮ = \mathbf{১৮}$

3. গ)

   $\dfrac{x^৬ - ৬৪}{x^৩} = x^৩ - \dfrac{৬৪}{x^৩}$

   $x = ৩ + \sqrt{৫}$ হলে $\dfrac{১}{x} = \dfrac{১}{৩+\sqrt{৫}} = \dfrac{৩-\sqrt{৫}}{৯-৫} = \dfrac{৩-\sqrt{৫}}{৪}$

   তাই $\dfrac{৬৪}{x^৩} = ৬৪ \times \dfrac{(৩-\sqrt{৫})^৩}{৬৪} = (৩-\sqrt{৫})^৩$

   $x^৩ - \dfrac{৬৪}{x^৩} = (৩+\sqrt{৫})^৩ - (৩-\sqrt{৫})^৩$

   $= ২\{৩ \cdot ৩^২ \cdot \sqrt{৫} + (\sqrt{৫})^৩\}$

   $= ২(২৭\sqrt{৫} + ৫\sqrt{৫}) = ২ \times ৩২\sqrt{৫} = ৬৪\sqrt{৫}$

   সুতরাং, $\dfrac{x^৬ - ৬৪}{x^৩} = ৬৪\sqrt{৫}$। (দেখানো হলো)