উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প: A=[102−22−2−21−6],B=A−1,C=[3−2−7],X=[xyz]\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ -2 & 2 & -2 \\ -2 & 1 & -6\end{array}\right], \mathbf{B}=\mathbf{A}^{-1}, \mathbf{C}=\left[\begin{array}{c}3 \\ -2 \\ -7\end{array}\right], \mathbf{X}=\left[\begin{array}{l}\mathrm{x} \\ \mathbf{y} \\ z\end{array}\right]

  1. ক)

    [0710−7015−10−150]\left[\begin{array}{ccc}0 & 7 & 10 \\ -7 & 0 & 15 \\ -10 & -15 & 0\end{array}\right] ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম কিনা যাচাই কর।

    (2)
  2. খ)

    B নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    AX = C হলে x, y, z নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি M=[0710−7015−10−150]M = \left[\begin{matrix} 0 & 7 & 10 \\ -7 & 0 & 15 \\ -10 & -15 & 0 \end{matrix}\right]

    কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স MM বিপ্রতিসম (Skew-symmetric) হবে যদি MT=−MM^T = -M হয়।

    এখন, MM-এর রূপান্তর (transpose) নির্ণয় করে পাই:
    MT=[0−7−1070−1510150]M^T = \left[\begin{matrix} 0 & -7 & -10 \\ 7 & 0 & -15 \\ 10 & 15 & 0 \end{matrix}\right]

    ম্যাট্রিক্সটি হতে −1-1 কমন নিয়ে পাই:
    MT=−[0710−7015−10−150]=−MM^T = - \left[\begin{matrix} 0 & 7 & 10 \\ -7 & 0 & 15 \\ -10 & -15 & 0 \end{matrix}\right] = -M

    যেহেতু MT=−MM^T = -M এবং এর মুখ্য কর্ণের সকল ভুক্তি শূন্য, তাই প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, B=A−1B = A^{-1}, যেখানে
    A=[102−22−2−21−6]A = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ -2 & 2 & -2 \\ -2 & 1 & -6 \end{matrix}\right]

    প্রথমে det⁡(A)\det(A) নির্ণয় করি:
    det⁡(A)=1(2(−6)−(−2)(1))−0+2(−2(1)−2(−2))\det(A) = 1(2(-6) - (-2)(1)) - 0 + 2(-2(1) - 2(-2))
    =1(−12+2)+2(−2+4)= 1(-12 + 2) + 2(-2 + 4)
    =−10+2(2)=−10+4=−6≠0= -10 + 2(2) = -10 + 4 = -6 \neq 0
    যেহেতু det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, তাই A−1A^{-1} বিদ্যমান।

    এখন AA-এর ভুক্তিগুলোর সহগুণক (cofactors) নির্ণয় করি:
    A11=+∣2−21−6∣=−12−(−2)=−10A_{11} = +\left|\begin{matrix} 2 & -2 \\ 1 & -6 \end{matrix}\right| = -12 - (-2) = -10
    A12=−∣−2−2−2−6∣=−(12−4)=−8A_{12} = -\left|\begin{matrix} -2 & -2 \\ -2 & -6 \end{matrix}\right| = -(12 - 4) = -8
    A13=+∣−22−21∣=−2−(−4)=2A_{13} = +\left|\begin{matrix} -2 & 2 \\ -2 & 1 \end{matrix}\right| = -2 - (-4) = 2

    A21=−∣021−6∣=−(0−2)=2A_{21} = -\left|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & -6 \end{matrix}\right| = -(0 - 2) = 2
    A22=+∣12−2−6∣=−6−(−4)=−2A_{22} = +\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & -6 \end{matrix}\right| = -6 - (-4) = -2
    A23=−∣10−21∣=−(1−0)=−1A_{23} = -\left|\begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix}\right| = -(1 - 0) = -1

    A31=+∣022−2∣=0−4=−4A_{31} = +\left|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & -2 \end{matrix}\right| = 0 - 4 = -4
    A32=−∣12−2−2∣=−(−2−(−4))=−2A_{32} = -\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & -2 \end{matrix}\right| = -(-2 - (-4)) = -2
    A33=+∣10−22∣=2−0=2A_{33} = +\left|\begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{matrix}\right| = 2 - 0 = 2

    সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ হলো adj(A)\text{adj}(A):
    adj(A)=[−10−822−2−1−4−22]T=[−102−4−8−2−22−12]\text{adj}(A) = \left[\begin{matrix} -10 & -8 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -4 & -2 & 2 \end{matrix}\right]^T = \left[\begin{matrix} -10 & 2 & -4 \\ -8 & -2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{matrix}\right]

    অতএব,
    B=A−1=1det⁡(A)adj(A)=−16[−102−4−8−2−22−12]=[53−1323431313−1316−13]B = A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = -\frac{1}{6} \left[\begin{matrix} -10 & 2 & -4 \\ -8 & -2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \frac{5}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} \end{matrix}\right]

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    AX=CAX = C
    যেহেতু A−1=BA^{-1} = B বিদ্যমান, সমীকরণের উভয় পাশে বাম থেকে A−1A^{-1} দ্বারা গুণ করে পাই:
    X=A−1C=BCX = A^{-1}C = BC

    'খ' হতে পাই,
    A−1=−16[−102−4−8−2−22−12]A^{-1} = -\frac{1}{6} \left[\begin{matrix} -10 & 2 & -4 \\ -8 & -2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{matrix}\right]

    এবং দেওয়া আছে C=[3−2−7]C = \left[\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -7 \end{matrix}\right]

    অতএব,
    X=−16[−102−4−8−2−22−12][3−2−7]X = -\frac{1}{6} \left[\begin{matrix} -10 & 2 & -4 \\ -8 & -2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -7 \end{matrix}\right]

    গুণ করে পাই:
    [xyz]=−16[(−10)(3)+2(−2)+(−4)(−7)(−8)(3)+(−2)(−2)+(−2)(−7)2(3)+(−1)(−2)+2(−7)]\left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right] = -\frac{1}{6} \left[\begin{matrix} (-10)(3) + 2(-2) + (-4)(-7) \\ (-8)(3) + (-2)(-2) + (-2)(-7) \\ 2(3) + (-1)(-2) + 2(-7) \end{matrix}\right]
    =−16[−30−4+28−24+4+146+2−14]= -\frac{1}{6} \left[\begin{matrix} -30 - 4 + 28 \\ -24 + 4 + 14 \\ 6 + 2 - 14 \end{matrix}\right]
    =−16[−6−6−6]=[111]= -\frac{1}{6} \left[\begin{matrix} -6 \\ -6 \\ -6 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\right]

    অতএব, x=1,y=1,z=1x = 1, y = 1, z = 1।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন