উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • স্থিতিবিদ্যা • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

P\mathbf{P} ও Q\mathbf{Q} দুইটি বল যেখানে P>Q\mathbf{P}>\mathbf{Q} .

  1. ক)

    যদি P, Q, R বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকে এবং √2P = √2Q = R হয় তবে P, Q এবং R, P এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    যদি উদ্দীপকে উল্লিখিত বলগুলো সমবিন্দুগামী হয় এবং উহাদের লব্ধি অন্তর্ভুক্ত কোণকে সমত্রিখণ্ডিত করে তবে বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ ও লব্ধি নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপকে উল্লিখিত বলদ্বয়ের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধি যথাক্রমে F ও G হয় এবং উহারা পরস্পর একটি বিন্দুতে a কোণে ক্রিয়াশীল α হয় তবে বল দুইটির লব্ধিকে F, G ও α2\frac{\alpha}{2} এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, PP, QQ এবং RR বলত্রয় সাম্যাবস্থায় রয়েছে।
    এখানে, 2P=2Q=R⇒P=Q=R2⇒R=2P\sqrt{2}P = \sqrt{2}Q = R \Rightarrow P = Q = \frac{R}{\sqrt{2}} \Rightarrow R = \sqrt{2}P এবং P=QP = Q।
    যেহেতু বল তিনটি সাম্যাবস্থায় আছে, লামির উপপাদ্য অনুসারে,
    Psin⁡(QR)=Qsin⁡(RP)=Rsin⁡(PQ)\frac{P}{\sin(Q^R)} = \frac{Q}{\sin(R^P)} = \frac{R}{\sin(P^Q)}
    যেহেতু P=QP = Q, সুতরাং sin⁡(QR)=sin⁡(RP)\sin(Q^R) = \sin(R^P)।
    আবার, বলত্রয় দ্বারা সাম্যাবস্থা গঠিত হওয়ায় বলত্রয়ের ভেক্টর যোগফল শূন্য, অর্থাৎ P2+Q2+2PQcos⁡(PQ)=R2P^2 + Q^2 + 2PQ\cos(P^Q) = R^2 [যেহেতু RR বলটি PP ও QQ এর লব্ধির সমান ও বিপরীতমুখী]
    ⇒P2+P2+2P2cos⁡(PQ)=(2P)2=2P2\Rightarrow P^2 + P^2 + 2P^2\cos(P^Q) = (\sqrt{2}P)^2 = 2P^2
    ⇒2P2+2P2cos⁡(PQ)=2P2\Rightarrow 2P^2 + 2P^2\cos(P^Q) = 2P^2
    ⇒2P2cos⁡(PQ)=0\Rightarrow 2P^2\cos(P^Q) = 0
    ⇒cos⁡(PQ)=0⇒∠(P,Q)=90∘\Rightarrow \cos(P^Q) = 0 \Rightarrow \angle(P, Q) = 90^\circ।

    যেহেতু P=QP = Q, তাই RR বলের সাথে PP ও QQ এর অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হবে।
    সুতরাং, ∠(P,Q)+∠(Q,R)+∠(R,P)=360∘\angle(P, Q) + \angle(Q, R) + \angle(R, P) = 360^\circ
    ⇒90∘+2∠(R,P)=360∘\Rightarrow 90^\circ + 2\angle(R, P) = 360^\circ
    ⇒2∠(R,P)=270∘\Rightarrow 2\angle(R, P) = 270^\circ
    ⇒∠(R,P)=135∘\Rightarrow \angle(R, P) = 135^\circ।

    অতএব, PP ও QQ এর মধ্যবর্তী কোণ 90∘90^\circ এবং RR ও PP এর মধ্যবর্তী কোণ 135∘135^\circ।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, PP ও QQ বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α\alpha এবং লব্ধি RR।
    প্রশ্নমতে, লব্ধি RR বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমত্রিখণ্ডিত করে।
    যেহেতু P>QP > Q, লব্ধি RR বৃহত্তর বল PP-এর কাছাকাছি থাকবে।
    সুতরাং, PP-এর সাথে লব্ধির কোণ θ=α3\theta = \frac{\alpha}{3} এবং QQ-এর সাথে লব্ধির কোণ 2α3\frac{2\alpha}{3}।
    বল ত্রিভুজের সূত্র বা সাইন সূত্রানুসারে,
    Psin⁡2α3=Qsin⁡α3=Rsin⁡α\frac{P}{\sin\frac{2\alpha}{3}} = \frac{Q}{\sin\frac{\alpha}{3}} = \frac{R}{\sin\alpha}

    প্রথম দুটি অনুপাত থেকে পাই,
    P2sin⁡α3cos⁡α3=Qsin⁡α3\frac{P}{2\sin\frac{\alpha}{3}\cos\frac{\alpha}{3}} = \frac{Q}{\sin\frac{\alpha}{3}}
    ⇒P2cos⁡α3=Q\Rightarrow \frac{P}{2\cos\frac{\alpha}{3}} = Q
    ⇒cos⁡α3=P2Q\Rightarrow \cos\frac{\alpha}{3} = \frac{P}{2Q}
    ⇒α3=cos⁡−1(P2Q)\Rightarrow \frac{\alpha}{3} = \cos^{-1}\left(\frac{P}{2Q}\right)
    ⇒α=3cos⁡−1(P2Q)\Rightarrow \alpha = 3\cos^{-1}\left(\frac{P}{2Q}\right)।

    সুতরাং, বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ α=3cos⁡−1(P2Q)\alpha = 3\cos^{-1}\left(\frac{P}{2Q}\right)।

    আবার লব্ধি নির্ণয়ের জন্য,
    Rsin⁡α=Qsin⁡α3\frac{R}{\sin\alpha} = \frac{Q}{\sin\frac{\alpha}{3}}
    ⇒R=Q⋅sin⁡(3⋅α3)sin⁡α3\Rightarrow R = Q \cdot \frac{\sin\left(3 \cdot \frac{\alpha}{3}\right)}{\sin\frac{\alpha}{3}}
    ⇒R=Q⋅3sin⁡α3−4sin⁡3α3sin⁡α3\Rightarrow R = Q \cdot \frac{3\sin\frac{\alpha}{3} - 4\sin^3\frac{\alpha}{3}}{\sin\frac{\alpha}{3}}
    ⇒R=Q⋅[3−4sin⁡2α3]\Rightarrow R = Q \cdot \left[3 - 4\sin^2\frac{\alpha}{3}\right]
    ⇒R=Q⋅[3−4(1−cos⁡2α3)]\Rightarrow R = Q \cdot \left[3 - 4\left(1 - \cos^2\frac{\alpha}{3}\right)\right]
    ⇒R=Q⋅[4cos⁡2α3−1]\Rightarrow R = Q \cdot \left[4\cos^2\frac{\alpha}{3} - 1\right]

    এখন, cos⁡α3=P2Q\cos\frac{\alpha}{3} = \frac{P}{2Q} বসিয়ে পাই,
    R=Q⋅[4⋅P24Q2−1]R = Q \cdot \left[4 \cdot \frac{P^2}{4Q^2} - 1\right]
    ⇒R=Q⋅[P2Q2−1]\Rightarrow R = Q \cdot \left[\frac{P^2}{Q^2} - 1\right]
    ⇒R=P2−Q2Q\Rightarrow R = \frac{P^2 - Q^2}{Q}।

    অতএব, বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ 3cos⁡−1(P2Q)3\cos^{-1}\left(\frac{P}{2Q}\right) এবং লব্ধি P2−Q2Q\frac{P^2 - Q^2}{Q}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, PP ও QQ বলদ্বয়ের বৃহত্তম লব্ধি FF এবং ক্ষুদ্রতম লব্ধি GG (যেখানে P>QP > Q)।
    সুতরাং,
    P+Q=FP + Q = F ...... (১)
    P−Q=GP - Q = G ...... (২)

    (১) ও (২) যোগ ও বিয়োগ করে পাই,
    2P=F+G⇒P=F+G22P = F + G \Rightarrow P = \frac{F + G}{2}
    2Q=F−G⇒Q=F−G22Q = F - G \Rightarrow Q = \frac{F - G}{2}

    বলদ্বয় পরস্পর α\alpha কোণে ক্রিয়াশীল হলে তাদের লব্ধি RR হলে,
    R2=P2+Q2+2PQcos⁡αR^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\alpha
    ⇒R2=P2+Q2+2PQ(2cos⁡2α2−1)\Rightarrow R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ\left(2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1\right)
    ⇒R2=P2+Q2−2PQ+4PQcos⁡2α2\Rightarrow R^2 = P^2 + Q^2 - 2PQ + 4PQ\cos^2\frac{\alpha}{2}
    ⇒R2=(P−Q)2+4PQcos⁡2α2\Rightarrow R^2 = (P - Q)^2 + 4PQ\cos^2\frac{\alpha}{2}

    আমরা জানি, (P−Q)=G(P - Q) = G এবং 4PQ=(P+Q)2−(P−Q)2=F2−G24PQ = (P + Q)^2 - (P - Q)^2 = F^2 - G^2।
    মান বসিয়ে পাই,
    R2=G2+(F2−G2)cos⁡2α2R^2 = G^2 + (F^2 - G^2)\cos^2\frac{\alpha}{2}
    ⇒R2=G2(1−cos⁡2α2)+F2cos⁡2α2\Rightarrow R^2 = G^2\left(1 - \cos^2\frac{\alpha}{2}\right) + F^2\cos^2\frac{\alpha}{2}
    ⇒R2=F2cos⁡2α2+G2sin⁡2α2\Rightarrow R^2 = F^2\cos^2\frac{\alpha}{2} + G^2\sin^2\frac{\alpha}{2}
    ⇒R=F2cos⁡2α2+G2sin⁡2α2\Rightarrow R = \sqrt{F^2\cos^2\frac{\alpha}{2} + G^2\sin^2\frac{\alpha}{2}}।

    অতএব, নির্ণেয় লব্ধি R=F2cos⁡2α2+G2sin⁡2α2R = \sqrt{F^2\cos^2\frac{\alpha}{2} + G^2\sin^2\frac{\alpha}{2}}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন