If ${C}_{r}$ denotes the binomial coefficient ;${ _{ ; }^{ n }{ C } }_{ r }$ then $\left( -1 \right) { C }_{ 0 }^{ 2 }+2{ C }_{ 1 }^{ 2 }+5{ C }_{ 2 }^{ 2 }+......(3n-1){ C }_{ n }^{ 2 }=\quad$

Question

Accepted Answer

খ. $\left( \cfrac { 3n-2 }{ 2 } \right) { _{ }^{ 2n }{ C } }_{ n }$

ব্যাখ্যা: ধরি, $S = \sum_{r=0}^{n} (3r - 1) C_r^2$
আমরা জানি, $C_r = C_{n-r}$। অতএব পদগুলোকে বিপরীত ক্রমে লিখে পাই:
$S = \sum_{r=0}^{n} [3(n - r) - 1] C_{n-r}^2 = \sum_{r=0}^{n} (3n - 3r - 1) C_r^2$
উভয় সমীকরণ যোগ করে পাই:
$2S = \sum_{r=0}^{n} [(3r - 1) + (3n - 3r - 1)] C_r^2 = (3n - 2) \sum_{r=0}^{n} C_r^2$
যেহেতু $\sum_{r=0}^{n} C_r^2 = {}^{2n}C_n$, সুতরাং:
$2S = (3n - 2) \, {}^{2n}C_n$
বা, $S = \frac{3n - 2}{2} \, {}^{2n}C_n$।

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন