উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ: $25x^2 + 16y^2 = 400$
   উভয়পক্ষকে 400 দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $x^2/16 + y^2/25 = 1$
   বা, $x^2/4^2 + y^2/5^2 = 1$
   এখানে, a = 4, b = 5। যেহেতু b > a, সেহেতু উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 - a^2/b^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5$

   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= 2a^2 / b = (2 \times 16) / 5 = 32/5$ একক।

   উত্তর: উৎকেন্দ্রিকতা 3/5 এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য 32/5 একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী উপবৃত্তের সমীকরণ:
   $25x^2 + ky^2 - 25k = 0$
   বা, $25x^2 + ky^2 = 25k$
   বা, $\frac{x^2}{k} + \frac{y^2}{25} = 1$ ... (i)

   উপবৃত্তটি $(6, 4)$ বিন্দুগামী হওয়ায়,
   $\frac{6^2}{k} + \frac{4^2}{25} = 1$
   বা, $\frac{36}{k} + \frac{16}{25} = 1$
   বা, $\frac{36}{k} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$
   বা, $9k = 36 \times 25$
   বা, $k = 4 \times 25 = 100$

   সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়: $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$
   এখানে, $a^2 = 100 \Rightarrow a = 10$ এবং $b^2 = 25 \Rightarrow b = 5$।
   যেহেতু $a > b$, তাই উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{100}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

   উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $= (\pm ae, 0) = \left(\pm 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) = (\pm 5\sqrt{3}, 0)$।

   উত্তর: $k = 100$, উৎকেন্দ্রিকতা $= \frac{\sqrt{3}}{2}$ এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(\pm 5\sqrt{3}, 0)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   উপকেন্দ্র, S = (1, 1)
   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{3}$
   নিয়ামক রেখার সমীকরণ, x + 2y - 1 = 0

   অধিবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু P(x, y) হলে, সংজ্ঞা অনুসারে:
   SP = e × PM [যেখানে PM হলো P বিন্দু থেকে নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্ব]
   বা, $SP^2 = e^2 \times PM^2$
   বা, $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 \times |(x + 2y - 1)/\sqrt{1^2 + 2^2}|^2$
   বা, $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 3 \times ((x + 2y - 1)^2 / (1 + 4))$
   বা, $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 = (3/5) [x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 4y - 2x]$
   বা, $5(x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2) = 3(x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1)$
   বা, $5x^2 + 5y^2 - 10x - 10y + 10 = 3x^2 + 12y^2 + 12xy - 6x - 12y + 3$
   বা, $5x^2 - 3x^2 - 12xy + 5y^2 - 12y^2 - 10x + 6x - 10y + 12y + 10 - 3 = 0$
   বা, $2x^2 - 12xy - 7y^2 - 4x + 2y + 7 = 0$

   উত্তর: নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ $2x^2 - 12xy - 7y^2 - 4x + 2y + 7 = 0$।