উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: খ-নং প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ভুলের কারণে '$2x - y$' এসেছে, এটি প্রমিত পাঠ্যবই অনুসারে '$x - y$' হবে, অর্থাৎ প্রমাণটি হলো $\cos^2\left(\frac{x - y}{4}\right) = \pm\frac{1}{4}\sqrt{a^2 + b^2} + \frac{1}{2}$।

   দেওয়া আছে,
   $\tan^2\theta = 1 + 2\tan^2\phi$
   বা, $1 + \tan^2\theta = 2 + 2\tan^2\phi = 2(1 + \tan^2\phi)$
   বা, $\sec^2\theta = 2\sec^2\phi$
   বা, $\frac{1}{\cos^2\theta} = \frac{2}{\cos^2\phi}$
   বা, $\cos^2\phi = 2\cos^2\theta$
   বা, $2\cos^2\phi = 4\cos^2\theta$
   বা, $1 + \cos 2\phi = 2(2\cos^2\theta) = 2(1 + \cos 2\theta)$
   বা, $1 + \cos 2\phi = 2 + 2\cos 2\theta$
   বা, $\cos 2\phi = 1 + 2\cos 2\theta$ (দেখানো হলো)।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: খ-নং প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ভুলের কারণে '$2x - y$' এসেছে, এটি প্রমিত পাঠ্যবই অনুসারে '$x - y$' হবে, অর্থাৎ প্রমাণটি হলো $\cos^2\left(\frac{x - y}{4}\right) = \pm\frac{1}{4}\sqrt{a^2 + b^2} + \frac{1}{2}$।

   [উল্লেখ্য: প্রশ্নে টাইপিং ভুলের কারণে কোণটি $\frac{2x-y}{4}$ হিসেবে মুদ্রিত হয়েছে; প্রমিত রূপ $\frac{x-y}{4}$ বিবেচনা করে সমাধান করা হলো]

   দৃশ্যকল্প-১ হতে,
   $a = \sin x + \sin y$
   $b = \cos x + \cos y$

   বর্গ করে যোগ করে পাই,
   $a^2 + b^2 = (\sin x + \sin y)^2 + (\cos x + \cos y)^2$
   $= (\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) + 2(\cos x \cos y + \sin x \sin y)$
   $= 1 + 1 + 2\cos(x - y)$
   $= 2 + 2\cos(x - y)$

   বা, $2 + 2\cos(x - y) = a^2 + b^2$
   বা, $2(1 + \cos(x - y)) = a^2 + b^2$
   আমরা জানি, $1 + \cos(x - y) = 2\cos^2\frac{x - y}{2}$
   সুতরাং,
   $2 \cdot 2\cos^2\frac{x - y}{2} = a^2 + b^2$
   বা, $4\cos^2\frac{x - y}{2} = a^2 + b^2$
   বা, $\cos^2\frac{x - y}{2} = \frac{a^2 + b^2}{4}$
   বা, $\cos\frac{x - y}{2} = \pm \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}$

   এখন,
   $2\cos^2\frac{x - y}{4} = 1 + \cos\frac{x - y}{2}$
   বা, $2\cos^2\frac{x - y}{4} = 1 \pm \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}$

   উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\cos^2\frac{x - y}{4} = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{4}\sqrt{a^2 + b^2}$
   বা, $\cos^2\frac{x - y}{4} = \pm \frac{1}{4}\sqrt{a^2 + b^2} + \frac{1}{2}$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: খ-নং প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ভুলের কারণে '$2x - y$' এসেছে, এটি প্রমিত পাঠ্যবই অনুসারে '$x - y$' হবে, অর্থাৎ প্রমাণটি হলো $\cos^2\left(\frac{x - y}{4}\right) = \pm\frac{1}{4}\sqrt{a^2 + b^2} + \frac{1}{2}$।

   দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদর্শিত $\Delta LMN$-এ $\angle L, \angle M, \angle N$ কোণত্রয়ের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে $l, m, n$।

   দেওয়া আছে,
   $l = \sqrt{m^2 + n^2 - \sqrt{2}mn}$
   উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
   $l^2 = m^2 + n^2 - \sqrt{2}mn$
   বা, $m^2 + n^2 - l^2 = \sqrt{2}mn$

   আমরা জানি, ত্রিভুজের কোসাইন সূত্রানুসারে,
   $\cos L = \frac{m^2 + n^2 - l^2}{2mn}$

   বা, $\cos L = \frac{\sqrt{2}mn}{2mn} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
   বা, $\cos L = \cos 45^\circ$
   $\therefore \angle L = 45^\circ$

   যেহেতু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$ বা $\pi$,
   $\angle L + \angle M + \angle N = 180^\circ$
   বা, $\angle M + \angle N = 180^\circ - \angle L$
   $= 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$
   বা রেডিয়ানে, $\angle M + \angle N = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

   উত্তর: $135^\circ$ বা $\frac{3\pi}{4}$।