পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • ভেক্টর • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২১

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

A⃗=4i^+2j^−k^;B⃗=i^−2j^−k^;C⃗=4i^−2j^+k^\vec{A}=4 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k} ; \vec{B}=\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k} ; \vec{C}=4 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}

  1. ক)

    অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

    (1)
  2. খ)

    "আয়ত একক ভেক্টরের দিক নির্দিষ্ট হলেও একক ভেক্টরের দিক নির্দিষ্ট নয়"- ব্যাখ্যা কর।

    (2)
  3. গ)

    C→\overrightarrow{\mathrm{C}} বরাবর B→\overrightarrow{\mathrm{B}} এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

    (3)
  4. ঘ)

    ∣A→−B→∣>∣B→−C→∣>∣A→−C→\overrightarrow{\mathbf{A}}-\overrightarrow{\mathbf{B}}|>|\overrightarrow{\mathbf{B}}-\overrightarrow{\mathbf{C}}|>|\overrightarrow{\mathbf{A}}-\overrightarrow{\mathbf{C}}| ; সঠিক/সঠিক নয়-যাচাই কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করার জন্য যে ভেক্টর ব্যবহার করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি ধনাত্মক অক্ষ (X,YX, Y ও ZZ) বরাবর যে তিনটি একক ভেক্টর বিবেচনা করা হয়, তাদের যথাক্রমে i^,j^,k^\hat{i}, \hat{j}, \hat{k} দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এদের দিক সুনির্দিষ্ট অক্ষ বরাবর হওয়ায় আয়ত একক ভেক্টরের দিক সর্বদা নির্দিষ্ট। কিন্তু যেকোনো সাধারণ একক ভেক্টরের মান 11 হলেও তার দিক ত্রিমাত্রিক দেশের যেকোনো দিকে হতে পারে। তাই আয়ত একক ভেক্টরের দিক নির্দিষ্ট হলেও সাধারণ একক ভেক্টরের দিক নির্দিষ্ট নয়।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    B⃗=i^−2j^−k^\vec{B} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}
    C⃗=4i^−2j^+k^\vec{C} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}

    C⃗\vec{C} বরাবর B⃗\vec{B} এর লম্ব অভিক্ষেপ =B⃗⋅C⃗∣C⃗∣= \frac{\vec{B} \cdot \vec{C}}{|\vec{C}|}

    এখানে,
    B⃗⋅C⃗=(1)(4)+(−2)(−2)+(−1)(1)=4+4−1=7\vec{B} \cdot \vec{C} = (1)(4) + (-2)(-2) + (-1)(1) = 4 + 4 - 1 = 7

    এবং C⃗\vec{C} এর মান,
    ∣C⃗∣=42+(−2)2+12=16+4+1=21|\vec{C}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}

    অতএব, নির্ণেয় লম্ব অভিক্ষেপ =721=213≈1.53= \frac{7}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{3} \approx 1.53 একক।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরসমূহ:
    A⃗=4i^+2j^−k^\vec{A} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}
    B⃗=i^−2j^−k^\vec{B} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}
    C⃗=4i^−2j^+k^\vec{C} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}

    ১. A⃗−B⃗=(4−1)i^+(2−(−2))j^+(−1−(−1))k^=3i^+4j^+0k^\vec{A} - \vec{B} = (4 - 1)\hat{i} + (2 - (-2))\hat{j} + (-1 - (-1))\hat{k} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}
    ∴∣A⃗−B⃗∣=32+42+02=9+16=25=5\therefore |\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

    ২. B⃗−C⃗=(1−4)i^+(−2−(−2))j^+(−1−1)k^=−3i^+0j^−2k^\vec{B} - \vec{C} = (1 - 4)\hat{i} + (-2 - (-2))\hat{j} + (-1 - 1)\hat{k} = -3\hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k}
    ∴∣B⃗−C⃗∣=(−3)2+02+(−2)2=9+4=13≈3.61\therefore |\vec{B} - \vec{C}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.61

    ৩. A⃗−C⃗=(4−4)i^+(2−(−2))j^+(−1−1)k^=0i^+4j^−2k^\vec{A} - \vec{C} = (4 - 4)\hat{i} + (2 - (-2))\hat{j} + (-1 - 1)\hat{k} = 0\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}
    ∴∣A⃗−C⃗∣=02+42+(−2)2=16+4=20≈4.47\therefore |\vec{A} - \vec{C}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \approx 4.47

    প্রাপ্ত মানগুলো তুলনা করে দেখা যায়:
    ∣A⃗−B⃗∣=5|\vec{A} - \vec{B}| = 5
    ∣B⃗−C⃗∣=13≈3.61|\vec{B} - \vec{C}| = \sqrt{13} \approx 3.61
    ∣A⃗−C⃗∣=20≈4.47|\vec{A} - \vec{C}| = \sqrt{20} \approx 4.47

    যেহেতু 20>13\sqrt{20} > \sqrt{13}, তাই ∣A⃗−C⃗∣>∣B⃗−C⃗∣|\vec{A} - \vec{C}| > |\vec{B} - \vec{C}|।
    কিন্তু প্রশ্নে প্রদত্ত সম্পর্কটি হলো: ∣A⃗−B⃗∣>∣B⃗−C⃗∣>∣A⃗−C⃗∣|\vec{A} - \vec{B}| > |\vec{B} - \vec{C}| > |\vec{A} - \vec{C}|।

    সুতরাং, উদ্দীপক অনুযায়ী প্রদত্ত সম্পর্কটি সঠিক নয়।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন