উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • দ্বিপদী বিস্তৃতি • Combined Board • রাজশাহী, কুমিল্লা, চট্টগ্রাম, বরিশাল বোর্ড ২০১৮

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: x2+(−1)npx+q=0x^{2}+(-1)^{n} p x+q=0 .দৃশ্যকল্প-২: (1+ax)b(1+a x)^{b}

  1. ক)

    (2−3x)12\left(2-\frac{3}{x}\right)^{12} এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ বের কর।

    (2)
  2. খ)

    a = -12 এবং b = −12-\frac{1}{2} হলে দৃশ্যকল্প-২ থেকে দেখাও যে, বিস্তৃতির x′x' এর সহগ =(2r)!⋅3′(r!)2=\frac{(2 \mathrm{r}) ! \cdot 3^{\prime}}{(\mathrm{r} !)^{2}} .

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য 1 হলে প্রমাণ কর যে, (p2+4q2)=(1+2q)2\left(p^{2}+4 q^{2}\right)=\left(1+2 q\right)^{2} . যেখানে n=2 n=2

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: In part (kha), the OCR artifacts 'b = −12-\frac{1}{2}', 'x′x'', and '3′' are identified as b=−12b = -\frac{1}{2}, xrx^r, and 3r3^r respectively; the coefficient a=−12a = -12 in the source is exact.

    প্রদত্ত রাশি: (2−3x)12\left(2 - \frac{3}{x}\right)^{12}
    এখানে সূচক n=12n = 12, যা একটি জোড় সংখ্যা।
    সুতরাং বিস্তৃতিটিতে পদসংখ্যা হবে (12+1)=13(12 + 1) = 13 টি এবং মধ্যপদ থাকবে একটি, যা (122+1)=7\left(\frac{12}{2} + 1\right) = 7-তম পদ।

    অতএব, মধ্যপদটি অর্থাৎ T6+1T_{6+1} হলো:
    T6+1=12C6⋅212−6⋅(−3x)6T_{6+1} = {}^{12}C_6 \cdot 2^{12-6} \cdot \left(-\frac{3}{x}\right)^6
    =12C6⋅26⋅36x6= {}^{12}C_6 \cdot 2^6 \cdot \frac{3^6}{x^6}
    =924⋅64⋅729x6= 924 \cdot 64 \cdot \frac{729}{x^6}
    =43110144x6বা924⋅26⋅36x6= \frac{43110144}{x^6} \quad \text{বা} \quad \frac{924 \cdot 2^6 \cdot 3^6}{x^6}

  2. খ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: In part (kha), the OCR artifacts 'b = −12-\frac{1}{2}', 'x′x'', and '3′' are identified as b=−12b = -\frac{1}{2}, xrx^r, and 3r3^r respectively; the coefficient a=−12a = -12 in the source is exact.

    দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রদত্ত রাশি: (1+ax)b(1+ax)^b
    এখানে a=−12a = -12 এবং b=−12b = -\frac{1}{2} বসিয়ে পাই:
    (1−12x)−12(1 - 12x)^{-\frac{1}{2}}

    আমরা জানি, (1−y)−n(1-y)^{-n} এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ:
    Tr+1=(−n)(−n−1)(−n−2)⋯(−n−r+1)r!(−y)rT_{r+1} = \frac{(-n)(-n-1)(-n-2)\cdots(-n-r+1)}{r!} (-y)^r

    এখানে n=12n = \frac{1}{2} এবং y=12xy = 12x বিবেচনা করলে:
    Tr+1=(−12)(−32)(−52)⋯(−2r−12)r!(−12x)rT_{r+1} = \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\cdots\left(-\frac{2r-1}{2}\right)}{r!} (-12x)^r
    =(−1)r⋅1⋅3⋅5⋯(2r−1)2r⋅r!⋅(−1)r⋅12r⋅xr= \frac{(-1)^r \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2r-1)}{2^r \cdot r!} \cdot (-1)^r \cdot 12^r \cdot x^r
    =1⋅3⋅5⋯(2r−1)2r⋅r!⋅12r⋅xr= \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2r-1)}{2^r \cdot r!} \cdot 12^r \cdot x^r

    লব ও হরকে 2⋅4⋅6⋯(2r)=2r⋅r!2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2r) = 2^r \cdot r! দ্বারা গুণ করে পাই:
    ={1⋅3⋅5⋯(2r−1)}{2⋅4⋅6⋯(2r)}2r⋅r!⋅2r⋅r!⋅12r⋅xr= \frac{\{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2r-1)\}\{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2r)\}}{2^r \cdot r! \cdot 2^r \cdot r!} \cdot 12^r \cdot x^r
    =(2r)!4r⋅(r!)2⋅12r⋅xr= \frac{(2r)!}{4^r \cdot (r!)^2} \cdot 12^r \cdot x^r
    =(2r)!(r!)2⋅(124)rxr= \frac{(2r)!}{(r!)^2} \cdot \left(\frac{12}{4}\right)^r x^r
    =(2r)!⋅3r(r!)2xr= \frac{(2r)! \cdot 3^r}{(r!)^2} x^r

    অতএব, বিস্তৃতিটিতে xrx^r এর সহগ =(2r)!⋅3r(r!)2= \frac{(2r)! \cdot 3^r}{(r!)^2}। (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: In part (kha), the OCR artifacts 'b = −12-\frac{1}{2}', 'x′x'', and '3′' are identified as b=−12b = -\frac{1}{2}, xrx^r, and 3r3^r respectively; the coefficient a=−12a = -12 in the source is exact.

    দৃশ্যকল্প-১: x2+(−1)npx+q=0x^2 + (-1)^n px + q = 0
    যেহেতু n=2n = 2, সমীকরণটি দাঁড়ায়:
    x2+(−1)2px+q=0  ⟹  x2+px+q=0x^2 + (-1)^2 px + q = 0 \implies x^2 + px + q = 0

    মনে করি, সমীকরণটির মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta।
    মূল ও সহগের সম্পর্ক থেকে পাই:
    α+β=−p\alpha + \beta = -p
    αβ=q\alpha \beta = q

    প্রশ্নমতে, মূলদ্বয়ের পার্থক্য 11:
    ∣α−β∣=1|\alpha - \beta| = 1
    বর্গ করে পাই:
    (α−β)2=1(\alpha - \beta)^2 = 1
      ⟹  (α+β)2−4αβ=1\implies (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 1
      ⟹  (−p)2−4q=1\implies (-p)^2 - 4q = 1
      ⟹  p2−4q=1\implies p^2 - 4q = 1
      ⟹  p2=1+4q\implies p^2 = 1 + 4q

    উভয়পক্ষে 4q24q^2 যোগ করে পাই:
    p2+4q2=1+4q+4q2p^2 + 4q^2 = 1 + 4q + 4q^2
      ⟹  p2+4q2=12+2⋅1⋅(2q)+(2q)2\implies p^2 + 4q^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot (2q) + (2q)^2
      ⟹  (p2+4q2)=(1+2q)2\implies (p^2 + 4q^2) = (1 + 2q)^2
    (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন