পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের 'গড় ব্যবধান 32 $\sqrt{3/2}$' পাঠ্যটি মুদ্রণত্রুটি; এটি মূলত 'গড় ও পরিমিত ব্যবধান যথাক্রমে 3 ও $\sqrt{3/2}$' (যেখানে বাংলা হরফে '3 ও' অপটিক্যাল বিভ্রান্তিতে '32' হয়েছে এবং 'পরিমিত' শব্দটি বাদ পড়েছে)।

   যে দৈব পরীক্ষার কেবল দুটি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে (যেমন— সাফল্য ও বিফলতা) এবং প্রতিটি ট্রায়াল বা চেষ্টা পরস্পর স্বাধীন হয়, তাকে বার্নোলী ট্রায়াল বলে।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের 'গড় ব্যবধান 32 $\sqrt{3/2}$' পাঠ্যটি মুদ্রণত্রুটি; এটি মূলত 'গড় ও পরিমিত ব্যবধান যথাক্রমে 3 ও $\sqrt{3/2}$' (যেখানে বাংলা হরফে '3 ও' অপটিক্যাল বিভ্রান্তিতে '32' হয়েছে এবং 'পরিমিত' শব্দটি বাদ পড়েছে)।

   দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি দুটি— মোট স্বাধীন চেষ্টার সংখ্যা $n$ এবং প্রতি চেষ্টায় সাফল্যের সম্ভাবনা $p$। দ্বিপদী বিন্যাসের গড় = $np$।
   অতএব, কোনো দ্বিপদী বিন্যাসের গড় = 5 বলতে বোঝায়, পরামিতি $n$ এবং $p$ এর গুণফল $np = 5$। অর্থাৎ, পরীক্ষাটি দীর্ঘমেয়াদে বা বারবার পরিচালনা করলে গড়ে প্রতিবারে সাফল্যের প্রত্যাশিত সংখ্যা হবে 5।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের 'গড় ব্যবধান 32 $\sqrt{3/2}$' পাঠ্যটি মুদ্রণত্রুটি; এটি মূলত 'গড় ও পরিমিত ব্যবধান যথাক্রমে 3 ও $\sqrt{3/2}$' (যেখানে বাংলা হরফে '3 ও' অপটিক্যাল বিভ্রান্তিতে '32' হয়েছে এবং 'পরিমিত' শব্দটি বাদ পড়েছে)।

   উদ্দীপকের তথ্যটি দৃশ্যত মুদ্রণত্রুটিযুক্ত। পরিসংখ্যানের দ্বিপদী বিন্যাসের কাঠামো অনুসারে অনুমিত মূল উদ্দীপক: গড় = 3 এবং পরিমিত ব্যবধান = $\sqrt{3/2}$।

   দেওয়া আছে:
   গড়, $np = 3$ ...(i)
   পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{\frac{3}{2}}$
   বা, ভেদাঙ্ক, $npq = \frac{3}{2}$ ...(ii)

   (ii) নং সমীকরণকে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $q = \frac{npq}{np} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$

   আমরা জানি, $p + q = 1$
   $\implies p = 1 - q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

   (i) নং সমীকরণে $p$ এর মান বসিয়ে পাই,
   $n \times \frac{1}{2} = 3 \implies n = 6$

   অতএব, দ্বিপদী বিন্যাসটির সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x} = \binom{6}{x} \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(\frac{1}{2}\right)^{6-x} = \binom{6}{x} \left(\frac{1}{2}\right)^6$; ($x = 0, 1, 2, \ldots, 6$)

   এখন, $x = 3$ এর জন্য:
   $P(X = 3) = \binom{6}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16} = 0.3125$।

4. ঘ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের 'গড় ব্যবধান 32 $\sqrt{3/2}$' পাঠ্যটি মুদ্রণত্রুটি; এটি মূলত 'গড় ও পরিমিত ব্যবধান যথাক্রমে 3 ও $\sqrt{3/2}$' (যেখানে বাংলা হরফে '3 ও' অপটিক্যাল বিভ্রান্তিতে '32' হয়েছে এবং 'পরিমিত' শব্দটি বাদ পড়েছে)।

   'গ' হতে প্রাপ্ত পরামিতিদ্বয়: $n = 6$, $p = \frac{1}{2}$ এবং $q = \frac{1}{2}$।

   দ্বিপদী বিন্যাসের ১ম বঙ্কিমতাঙ্ক (Skewness coefficient):
   $\gamma_1 = \frac{q - p}{\sqrt{npq}}$

   মান বসিয়ে পাই,
   $\gamma_1 = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{6 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}} = \frac{0}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = 0$
   (অথবা বঙ্কিমতাঙ্ক $\beta_1 = \frac{(q - p)^2}{npq} = \frac{(0)^2}{3/2} = 0$)

   মন্তব্য:
   যেহেতু বঙ্কিমতাঙ্ক $\gamma_1 = 0$ (বা $\beta_1 = 0$), তাই বিন্যাসটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক কোনো দিকেই বঙ্কিম নয়; অর্থাৎ উদ্দীপকের দ্বিপদী বিন্যাসটি সম্পূর্ণ প্রতিসম (Symmetric)।