উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প:
x+y+z=3x+ay+a2z=ℓx+a2y+a4z=m},C=[1230],f(x)=x2+3x−7\left.\begin{array}{c} x+y+z=3 \\ x+a y+a^{2} z=\ell \\ x+a^{2} y+a^{4} z=m \end{array}\right\}, C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{array}\right], f(x)=x^{2}+3 x-7

  1. ক)

    প্রমাণ কর: ∣∣x+y3(y+z)z+x131z3xy∣=0\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}+\mathrm{y} & \mathbf{3}(\mathrm{y}+\mathrm{z}) & \mathrm{z}+\mathrm{x} \\ \mathbf{1} & \mathbf{3} & \mathbf{1} \\ \mathrm{z} & \mathbf{3 x} & \mathrm{y}\end{array}\right|=\mathbf{0}

    (2)
  2. খ)

    সমীকরুণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, Det⁡(A)=a(a−1)2(a2−1)\operatorname{Det}(A)=a(a-1)^{2}\left(a^{2}-1\right) .

    (4)
  3. গ)

    f(C) নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত নির্ণায়ক:
    Δ=∣x+y3(y+z)z+x131z3xy∣\Delta = \left|\begin{matrix} x+y & 3(y+z) & z+x \\ 1 & 3 & 1 \\ z & 3x & y \end{matrix}\right|

    ২য় কলাম হতে 33 সাধারণ উৎপাদক হিসেবে কমন নিয়ে পাই,
    Δ=3∣x+yy+zz+x111zxy∣\Delta = 3 \left|\begin{matrix} x+y & y+z & z+x \\ 1 & 1 & 1 \\ z & x & y \end{matrix}\right|

    এখন ১ম সারির সাথে ৩য় সারি যোগ করে পাই (R1′=R1+R3R_1' = R_1 + R_3):
    Δ=3∣x+y+zx+y+zx+y+z111zxy∣\Delta = 3 \left|\begin{matrix} x+y+z & x+y+z & x+y+z \\ 1 & 1 & 1 \\ z & x & y \end{matrix}\right|

    ১ম সারি থেকে (x+y+z)(x+y+z) কমন নিয়ে পাই,
    Δ=3(x+y+z)∣111111zxy∣\Delta = 3(x+y+z) \left|\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ z & x & y \end{matrix}\right|

    যেহেতু নির্ণায়কটির ১ম ও ২য় সারি হুবহু একই (identically equal), সেহেতু নির্ণায়কের মান শূন্য।
    ∴Δ=3(x+y+z)×0=0\therefore \Delta = 3(x+y+z) \times 0 = 0 (প্রমাণিত)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণজোট:
    x+y+z=3x + y + z = 3
    x+ay+a2z=ℓx + ay + a^2z = \ell
    x+a2y+a4z=mx + a^2y + a^4z = m

    সমীকরণগুলোকে AX=BAX = B আকারে প্রকাশ করলে পাই:
    [1111aa21a2a4][xyz]=[3ℓm]\left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a^4 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 \\ \ell \\ m \end{matrix}\right]

    এখানে সহগ ম্যাট্রিক্স,
    A=[1111aa21a2a4]A = \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a^4 \end{matrix}\right]

    অতএব,
    Det(A)=∣1111aa21a2a4∣\text{Det}(A) = \left|\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a^4 \end{matrix}\right|

    কলাম রূপান্তর C1′=C1−C2C_1' = C_1 - C_2 এবং C2′=C2−C3C_2' = C_2 - C_3 প্রয়োগ করে পাই:
    Det(A)=∣0011−aa−a2a21−a2a2−a4a4∣\text{Det}(A) = \left|\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1-a & a-a^2 & a^2 \\ 1-a^2 & a^2-a^4 & a^4 \end{matrix}\right|

    ১ম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই:
    Det(A)=1⋅∣1−aa(1−a)1−a2a2(1−a2)∣\text{Det}(A) = 1 \cdot \left|\begin{matrix} 1-a & a(1-a) \\ 1-a^2 & a^2(1-a^2) \end{matrix}\right|

    ১ম সারি হতে (1−a)(1-a) এবং ২য় সারি হতে (1−a2)(1-a^2) কমন নিয়ে পাই:
    Det(A)=(1−a)(1−a2)∣1a1a2∣\text{Det}(A) = (1-a)(1-a^2) \left|\begin{matrix} 1 & a \\ 1 & a^2 \end{matrix}\right|
    =(1−a)(1−a2)(a2−a)= (1-a)(1-a^2)(a^2 - a)
    =−(a−1)⋅(−(a2−1))⋅a(a−1)= -(a-1) \cdot (-(a^2-1)) \cdot a(a-1)
    =a(a−1)2(a2−1)= a(a-1)^2(a^2-1)

    অতএব, Det(A)=a(a−1)2(a2−1)\text{Det}(A) = a(a-1)^2(a^2-1) (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    C=[1230]C = \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix}\right]
    এবং বহুপদী ফাংশন,
    f(x)=x2+3x−7f(x) = x^2 + 3x - 7

    অতএব, ম্যাট্রিক্স ফাংশন:
    f(C)=C2+3C−7If(C) = C^2 + 3C - 7I
    এখানে I=[1001]I = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] হলো 2×22 \times 2 মাত্রার অভেদক ম্যাট্রিক্স।

    এখন,
    C2=C⋅C=[1230][1230]C^2 = C \cdot C = \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix}\right]
    =[1⋅1+2⋅31⋅2+2⋅03⋅1+0⋅33⋅2+0⋅0]=[1+62+03+06+0]=[7236]= \left[\begin{matrix} 1\cdot 1 + 2\cdot 3 & 1\cdot 2 + 2\cdot 0 \\ 3\cdot 1 + 0\cdot 3 & 3\cdot 2 + 0\cdot 0 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1+6 & 2+0 \\ 3+0 & 6+0 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix}\right]

    3C=3[1230]=[3690]3C = 3\left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 & 6 \\ 9 & 0 \end{matrix}\right]

    7I=7[1001]=[7007]7I = 7\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix}\right]

    সুতরাং,
    f(C)=[7236]+[3690]−[7007]f(C) = \left[\begin{matrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} 3 & 6 \\ 9 & 0 \end{matrix}\right] - \left[\begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix}\right]
    =[7+3−72+6−03+9−06+0−7]=[3812−1]= \left[\begin{matrix} 7+3-7 & 2+6-0 \\ 3+9-0 & 6+0-7 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 & 8 \\ 12 & -1 \end{matrix}\right]

    উত্তর: [3812−1]\left[\begin{matrix} 3 & 8 \\ 12 & -1 \end{matrix}\right]

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন