উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $(0, -1)$ ও $(2, 3)$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - 0)(x - 2) + (y - (-1))(y - 3) = 0$
   $\implies x(x - 2) + (y + 1)(y - 3) = 0$
   $\implies x^2 - 2x + y^2 - 2y - 3 = 0$
   $\implies x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0$

   এখানে, $2g = -2 \implies g = -1$ এবং $c = -3$

   $x$-অক্ষ থেকে খণ্ডিত অংশের পরিমাণ $= 2\sqrt{g^2 - c}$
   $= 2\sqrt{(-1)^2 - (-3)} = 2\sqrt{1 + 3} = 2\sqrt{4} = 2 \times 2 = 4$ একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-I এ বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 3x - 5y + 6 = 0$
   যার কেন্দ্র $C_1 = \left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$
   এবং প্রদত্ত সরলরেখা: $x + 2y + 1 = 0$ ... (i)

   ধরি, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ... (ii)
   বৃত্তটি মূলবিন্দু $(0, 0)$ দিয়ে যায়, তাই $c = 0$।

   বৃত্তটি দৃশ্যকল্প-I এর কেন্দ্র $\left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$ দিয়ে যায়:
   $\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 2g\left(-\frac{3}{2}\right) + 2f\left(\frac{5}{2}\right) = 0$
   $\implies \frac{9}{4} + \frac{25}{4} - 3g + 5f = 0$
   $\implies \frac{34}{4} - 3g + 5f = 0$
   $\implies \frac{17}{2} - 3g + 5f = 0$
   $\implies -6g + 10f + 17 = 0$ ... (iii)

   নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র $(-g, -f)$ যা (i) নং রেখার উপর অবস্থিত:
   $(-g) + 2(-f) + 1 = 0$
   $\implies -g - 2f + 1 = 0 \implies g = 1 - 2f$ ... (iv)

   $g$ এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   $-6(1 - 2f) + 10f + 17 = 0$
   $\implies -6 + 12f + 10f + 17 = 0$
   $\implies 22f + 11 = 0 \implies f = -\frac{11}{22} = -\frac{1}{2}$

   $f$ এর মান (iv) এ বসিয়ে পাই:
   $g = 1 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + 1 = 2$

   অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2(2)x + 2\left(-\frac{1}{2}\right)y = 0$
   $\implies x^2 + y^2 + 4x - y = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-II দ্বারা বর্ণিত রেখা: $4x - 3y - 7 = 0$

   উক্ত রেখার সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ:
   $4x - 3y + k = 0$ ... (i)

   $(1, 2)$ বিন্দু হতে (i) নং রেখার লম্ব দূরত্ব:
   $d = \frac{|4(1) - 3(2) + k|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4 - 6 + k|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|k - 2|}{5}$

   প্রশ্নমতে, এই দূরত্ব $= 5\frac{1}{2} = \frac{11}{2}$
   $\therefore \frac{|k - 2|}{5} = \frac{11}{2}$
   $\implies |k - 2| = \frac{55}{2}$
   $\implies k - 2 = \pm \frac{55}{2}$

   ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
   $k = 2 + \frac{55}{2} = \frac{59}{2}$

   ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
   $k = 2 - \frac{55}{2} = -\frac{51}{2}$

   $k$ এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
   $4x - 3y + \frac{59}{2} = 0 \implies 8x - 6y + 59 = 0$
   এবং
   $4x - 3y - \frac{51}{2} = 0 \implies 8x - 6y - 51 = 0$

   অতএব, সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ $8x - 6y + 59 = 0$ এবং $8x - 6y - 51 = 0$।