উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $9x^2 - 4y^2 + 36 = 0 \implies \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{4} = 1$।
   এখানে, $b^2 = 9$ এবং $a^2 = 4$।
   অতএব, উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুযায়ী, উপকেন্দ্র $S(0, 0)$ এবং শীর্ষবিন্দু $A(-2, -1)$।
   পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে শীর্ষবিন্দু $A$, উপকেন্দ্র $S$ ও দ্বিকক্ষের পাদবিন্দু $Z$-এর মধ্যবিন্দু।
   ধরি $Z$-এর স্থানাঙ্ক $(\alpha, \beta)$।
   তাহলে, $\frac{\alpha + 0}{2} = -2 \implies \alpha = -4$ এবং $\frac{\beta + 0}{2} = -1 \implies \beta = -2$।
   সুতরাং, $Z(-4, -2)$।
   অক্ষরেখার ঢাল $m = \frac{-1 - 0}{-2 - 0} = \frac{1}{2}$।
   যেহেতু দ্বিকক্ষ $MZM'$ অক্ষের ওপর লম্ব, এর ঢাল $m' = -2$।
   অতএব, দ্বিকক্ষ $MZM'$ এর সমীকরণ:
   $y - (-2) = -2(x - (-4)) \implies 2x + y + 10 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $e = \frac{SP}{PM} = \frac{1}{3} < 1$, সুতরাং কণিকটি একটি উপবৃত্ত।
   উপকেন্দ্র $S(0, 0)$ এবং দ্বিকক্ষের সমীকরণ $x + y - 2 = 0$।
   কণিকের সমীকরণ:
   $SP^2 = e^2 PM^2$
   $\implies x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \frac{(x+y-2)^2}{1^2+1^2}$
   $\implies 18(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 4 + 2xy - 4x - 4y$
   $\implies 17x^2 - 2xy + 17y^2 + 4x + 4y - 4 = 0$।