উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • অন্তরীকরণ • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

f(x)=(ax)nf(x) = (ax)^n
g(x)=17−15x+9x2−x3g(x) = 17 - 15x + 9x^2 - x^3

  1. ক)

    y=sin⁡xy = \sqrt{\sin \sqrt{x}} হলে dydx\frac{dy}{dx} নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    লিমিট এর সাহায্যে f(x) f(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    g(x) g(x) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং বৃদ্ধি পায় তাহা নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    y=sin⁡x=(sin⁡x)12y = \sqrt{\sin\sqrt{x}} = (\sin\sqrt{x})^{\frac{1}{2}}

    x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
    dydx=ddx(sin⁡x)\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{\sin\sqrt{x}}\right)
    =12sin⁡x⋅ddx(sin⁡x)= \frac{1}{2\sqrt{\sin\sqrt{x}}} \cdot \frac{d}{dx}(\sin\sqrt{x})
    =12sin⁡x⋅cos⁡x⋅ddx(x)= \frac{1}{2\sqrt{\sin\sqrt{x}}} \cdot \cos\sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})
    =cos⁡x2sin⁡x⋅12x= \frac{\cos\sqrt{x}}{2\sqrt{\sin\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}
    =cos⁡x4xsin⁡x= \frac{\cos\sqrt{x}}{4\sqrt{x}\sqrt{\sin\sqrt{x}}}

    অতএব, dydx=cos⁡x4xsin⁡x\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\sqrt{x}}{4\sqrt{x\sin\sqrt{x}}}

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    f(x)=(ax)n=anxnf(x) = (ax)^n = a^n x^n
    f(x+h)=an(x+h)nf(x+h) = a^n(x+h)^n

    অন্তরজের সংজ্ঞাহতে (লিমিটের সাহায্যে),
    ddxf(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\frac{d}{dx}f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
    =lim⁡h→0an(x+h)n−anxnh= \lim_{h \to 0} \frac{a^n(x+h)^n - a^n x^n}{h}
    =anlim⁡h→0xn(1+hx)n−xnh= a^n \lim_{h \to 0} \frac{x^n\left(1 + \frac{h}{x}\right)^n - x^n}{h}
    =anxnlim⁡h→0(1+hx)n−1h= a^n x^n \lim_{h \to 0} \frac{\left(1 + \frac{h}{x}\right)^n - 1}{h}

    দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,
    =anxnlim⁡h→0[1+n(hx)+n(n−1)2!(hx)2+… ]−1h= a^n x^n \lim_{h \to 0} \frac{\left[1 + n\left(\frac{h}{x}\right) + \frac{n(n-1)}{2!}\left(\frac{h}{x}\right)^2 + \dots\right] - 1}{h}
    =anxnlim⁡h→0n(hx)+n(n−1)2!(hx)2+…h= a^n x^n \lim_{h \to 0} \frac{n\left(\frac{h}{x}\right) + \frac{n(n-1)}{2!}\left(\frac{h}{x}\right)^2 + \dots}{h}
    =anxnlim⁡h→0[nx+n(n−1)2!hx2+… ]= a^n x^n \lim_{h \to 0} \left[\frac{n}{x} + \frac{n(n-1)}{2!}\frac{h}{x^2} + \dots\right]
    =anxn⋅nx= a^n x^n \cdot \frac{n}{x}
    =nanxn−1= n a^n x^{n-1}

    অতএব, ddxf(x)=nanxn−1\frac{d}{dx}f(x) = n a^n x^{n-1}

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    g(x)=17−15x+9x2−x3g(x) = 17 - 15x + 9x^2 - x^3

    x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
    g′(x)=ddx(17−15x+9x2−x3)g'(x) = \frac{d}{dx}(17 - 15x + 9x^2 - x^3)
    =−15+18x−3x2= -15 + 18x - 3x^2
    =−3(x2−6x+5)= -3(x^2 - 6x + 5)
    =−3(x−1)(x−5)= -3(x - 1)(x - 5)

    ফাংশনটি বৃদ্ধি পাওয়ার শর্ত:
    g′(x)>0g'(x) > 0
    ⇒−3(x−1)(x−5)>0\Rightarrow -3(x - 1)(x - 5) > 0
    ⇒(x−1)(x−5)<0\Rightarrow (x - 1)(x - 5) < 0
    ⇒1<x<5\Rightarrow 1 < x < 5
    অর্থাৎ, (1,5)(1, 5) ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।

    ফাংশনটি হ্রাস পাওয়ার শর্ত:
    g′(x)<0g'(x) < 0
    ⇒−3(x−1)(x−5)<0\Rightarrow -3(x - 1)(x - 5) < 0
    ⇒(x−1)(x−5)>0\Rightarrow (x - 1)(x - 5) > 0
    ⇒x<1\Rightarrow x < 1 অথবা x>5x > 5
    অর্থাৎ, (−∞,1)∪(5,∞)(-\infty, 1) \cup (5, \infty) ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়।

    উত্তর:
    (1,5)(1, 5) ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায় এবং (−∞,1)∪(5,∞)(-\infty, 1) \cup (5, \infty) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন