উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

  1. ক)

    tan⁡−1x+tan⁡−1y=π2\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{2} হলে, দেখাও যে, x=1yx = \frac{1}{y}. [যেখানে, x>0,y>0,0<xy<1x > 0, y > 0, 0 < xy < 1]

    (2)
  2. খ)

    যদি f−1(2x)+f−1(2y)=3π2f^{-1}(2x) + f^{-1}(2y) = \frac{3\pi}{2} হলে দেখাও যে, x2+y2=14x^2 + y^2 = \frac{1}{4}

    (4)
  3. গ)

    f(x)+3f(π2−x)=2f(x) + \sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sqrt{2} হলে সমীকরণটির সমাধান কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    tan⁡−1x+tan⁡−1y=π2\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{2}
    যেহেতু xy<1xy < 1, তাই:
    tan⁡−1(x+y1−xy)=π2\tan^{-1}\left(\frac{x + y}{1 - xy}\right) = \frac{\pi}{2}
    ⇒x+y1−xy=tan⁡(π2)=∞=10\Rightarrow \frac{x + y}{1 - xy} = \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) = \infty = \frac{1}{0}
    ⇒1−xy=0\Rightarrow 1 - xy = 0
    ⇒xy=1\Rightarrow xy = 1
    ⇒x=1y\Rightarrow x = \frac{1}{y} (দেখানো হলো)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x
    অতএব, f−1(x)=cos⁡−1xf^{-1}(x) = \cos^{-1} x

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    f−1(2x)+f−1(2y)=3π2f^{-1}(2x) + f^{-1}(2y) = \frac{3\pi}{2}
    ⇒cos⁡−1(2x)+cos⁡−1(2y)=3π2\Rightarrow \cos^{-1}(2x) + \cos^{-1}(2y) = \frac{3\pi}{2}
    ⇒cos⁡−1[(2x)(2y)−1−(2x)21−(2y)2]=3π2\Rightarrow \cos^{-1}\left[(2x)(2y) - \sqrt{1 - (2x)^2}\sqrt{1 - (2y)^2}\right] = \frac{3\pi}{2}
    ⇒4xy−1−4x21−4y2=cos⁡(3π2)=0\Rightarrow 4xy - \sqrt{1 - 4x^2}\sqrt{1 - 4y^2} = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0
    ⇒4xy=1−4x21−4y2\Rightarrow 4xy = \sqrt{1 - 4x^2}\sqrt{1 - 4y^2}

    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    16x2y2=(1−4x2)(1−4y2)16x^2y^2 = (1 - 4x^2)(1 - 4y^2)
    ⇒16x2y2=1−4y2−4x2+16x2y2\Rightarrow 16x^2y^2 = 1 - 4y^2 - 4x^2 + 16x^2y^2
    ⇒0=1−4(x2+y2)\Rightarrow 0 = 1 - 4(x^2 + y^2)
    ⇒4(x2+y2)=1\Rightarrow 4(x^2 + y^2) = 1
    ⇒x2+y2=14\Rightarrow x^2 + y^2 = \frac{1}{4} (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x
    অতএব, f(π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡xf\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    f(x)+3f(π2−x)=2f(x) + \sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sqrt{2}
    ⇒cos⁡x+3sin⁡x=2\Rightarrow \cos x + \sqrt{3} \sin x = \sqrt{2}

    উভয়পক্ষকে 12+(3)2=1+3=2\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
    12cos⁡x+32sin⁡x=22\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}
    ⇒cos⁡xcos⁡π3+sin⁡xsin⁡π3=12\Rightarrow \cos x \cos\frac{\pi}{3} + \sin x \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}
    ⇒cos⁡(x−π3)=cos⁡π4\Rightarrow \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{4}

    আমরা জানি, cos⁡θ=cos⁡α\cos\theta = \cos\alpha হলে, θ=2nπ±α, n∈Z\theta = 2n\pi \pm \alpha, \, n \in \mathbb{Z}
    ⇒x−π3=2nπ±π4\Rightarrow x - \frac{\pi}{3} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}
    ⇒x=2nπ+π3±π4, n∈Z\Rightarrow x = 2n\pi + \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{4}, \, n \in \mathbb{Z}

    (+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
    x=2nπ+π3+π4=2nπ+7π12x = 2n\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{7\pi}{12}

    (-) চিহ্ন নিয়ে পাই:
    x=2nπ+π3−π4=2nπ+π12x = 2n\pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{12}

    অতএব, নির্ণেয় সমাধান: x=2nπ+π12x = 2n\pi + \frac{\pi}{12} অথবা x=2nπ+7π12x = 2n\pi + \frac{7\pi}{12}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন