$f(x) = x^2(a-x), a 0$ এর সর্বোচ্চ মান কত?

Question

$f(x) = x^2(a-x), a > 0$ এর সর্বোচ্চ মান কত?

Accepted Answer

খ. $\frac{4a^3}{27}$

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত ফাংশন, $f(x) = ax^2 - x^3$। চরম মানের জন্য $f'(x) = 0$ হতে হবে।
$f'(x) = 2ax - 3x^2 = 0 \implies x(2a - 3x) = 0$
যেহেতু $a > 0$, তাই $x = 0$ অথবা $x = \frac{2a}{3}$।
এখন, $f''(x) = 2a - 6x$।
$x = \frac{2a}{3}$ হলে $f''\left(\frac{2a}{3}ight) = 2a - 4a = -2a < 0$, অর্থাৎ $x = \frac{2a}{3}$ বিন্দুতে ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ হবে।
অতএব, সর্বোচ্চ মান $f\left(\frac{2a}{3}ight) = \left(\frac{2a}{3}ight)^2 \left(a - \frac{2a}{3}ight) = \frac{4a^2}{9} 	imes \frac{a}{3} = \frac{4a^3}{27}$।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন