উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

  1. ক)

    a=3+1, b=3−1,C=60∘\mathrm{a}=\sqrt{3}+1, \mathrm{~b}=\sqrt{3}-1, \mathrm{C}=60^{\circ} হলে △△ABC\triangle \mathrm{ABC} এ c\mathrm{c} বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    A+B=120∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=120^{\circ} হলে উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, sin⁡2(θ+α)+sin⁡2(θ−α)−cos⁡2α=12\sin ^{2}(\theta+\alpha)+\sin ^{2}(\theta-\alpha)-\cos ^{2} \alpha=\frac{1}{2}

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, sin⁡2A−sin⁡2B+sin⁡2C=−4cos⁡Asin⁡Bcos⁡2θ\sin 2 A-\sin 2 B+\sin 2 C=-4 \cos A \sin B \cos 2 \theta .

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    আমরা জানি,
    c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
    দেওয়া আছে,
    a=3+1a = \sqrt{3} + 1
    b=3−1b = \sqrt{3} - 1
    C=60∘C = 60^\circ

    মান বসিয়ে পাই,
    c2=(3+1)2+(3−1)2−2(3+1)(3−1)cos⁡60∘c^2 = (\sqrt{3} + 1)^2 + (\sqrt{3} - 1)^2 - 2(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) \cos 60^\circ
    =2[(3)2+12]−2[(3)2−12]⋅12= 2[(\sqrt{3})^2 + 1^2] - 2[(\sqrt{3})^2 - 1^2] \cdot \frac{1}{2}
    =2(3+1)−(3−1)= 2(3 + 1) - (3 - 1)
    =2(4)−2= 2(4) - 2
    =8−2=6= 8 - 2 = 6

    ∴c=6\therefore c = \sqrt{6}

    উত্তর: c=6c = \sqrt{6}

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, △ABC\triangle ABC-এর BCBC বাহুকে DD পর্যন্ত বর্ধিত করায় বহিঃস্থ কোণ ∠ACD=2θ\angle ACD = 2\theta।
    আমরা জানি, অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি বহিঃস্থ কোণের সমান।
    ∴∠ACD=A+B\therefore \angle ACD = A + B
    বা, 2θ=A+B2\theta = A + B

    দেওয়া আছে, A+B=120∘A + B = 120^\circ
    ∴2θ=120∘  ⟹  θ=60∘\therefore 2\theta = 120^\circ \implies \theta = 60^\circ

    বামপক্ষ =sin⁡2(θ+α)+sin⁡2(θ−α)−cos⁡2α= \sin^2(\theta + \alpha) + \sin^2(\theta - \alpha) - \cos^2 \alpha
    =sin⁡2(60∘+α)+sin⁡2(60∘−α)−cos⁡2α= \sin^2(60^\circ + \alpha) + \sin^2(60^\circ - \alpha) - \cos^2 \alpha
    =12[2sin⁡2(60∘+α)+2sin⁡2(60∘−α)]−cos⁡2α= \frac{1}{2} [2\sin^2(60^\circ + \alpha) + 2\sin^2(60^\circ - \alpha)] - \cos^2 \alpha
    =12[1−cos⁡(120∘+2α)+1−cos⁡(120∘−2α)]−cos⁡2α= \frac{1}{2} [1 - \cos(120^\circ + 2\alpha) + 1 - \cos(120^\circ - 2\alpha)] - \cos^2 \alpha
    =12[2−{cos⁡(120∘+2α)+cos⁡(120∘−2α)}]−cos⁡2α= \frac{1}{2} [2 - \{\cos(120^\circ + 2\alpha) + \cos(120^\circ - 2\alpha)\}] - \cos^2 \alpha
    =12[2−2cos⁡120∘cos⁡2α]−cos⁡2α= \frac{1}{2} [2 - 2\cos 120^\circ \cos 2\alpha] - \cos^2 \alpha
    =12[2−2(−12)cos⁡2α]−cos⁡2α= \frac{1}{2} [2 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) \cos 2\alpha] - \cos^2 \alpha
    =12[2+cos⁡2α]−cos⁡2α= \frac{1}{2} [2 + \cos 2\alpha] - \cos^2 \alpha
    =1+12cos⁡2α−cos⁡2α= 1 + \frac{1}{2}\cos 2\alpha - \cos^2 \alpha
    =1+12(2cos⁡2α−1)−cos⁡2α= 1 + \frac{1}{2}(2\cos^2 \alpha - 1) - \cos^2 \alpha
    =1+cos⁡2α−12−cos⁡2α= 1 + \cos^2 \alpha - \frac{1}{2} - \cos^2 \alpha
    =1−12=12== 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী, BCDBCD একটি সরলরেখা।
    ∴C+2θ=180∘\therefore C + 2\theta = 180^\circ বা, C=180∘−2θC = 180^\circ - 2\theta
    আবার ত্রিভুজ ABCABC-তে, A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ
    বা, A+B=180∘−C=180∘−(180∘−2θ)=2θA + B = 180^\circ - C = 180^\circ - (180^\circ - 2\theta) = 2\theta

    বামপক্ষ =sin⁡2A−sin⁡2B+sin⁡2C= \sin 2A - \sin 2B + \sin 2C
    =2cos⁡(A+B)sin⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C= 2 \cos(A + B) \sin(A - B) + 2 \sin C \cos C
    =2cos⁡(180∘−C)sin⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C= 2 \cos(180^\circ - C) \sin(A - B) + 2 \sin C \cos C
    =−2cos⁡Csin⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C= -2 \cos C \sin(A - B) + 2 \sin C \cos C
    =−2cos⁡C[sin⁡(A−B)−sin⁡C]= -2 \cos C [\sin(A - B) - \sin C]
    =−2cos⁡C[sin⁡(A−B)−sin⁡(180∘−(A+B))]= -2 \cos C [\sin(A - B) - \sin(180^\circ - (A + B))]
    =−2cos⁡C[sin⁡(A−B)−sin⁡(A+B)]= -2 \cos C [\sin(A - B) - \sin(A + B)]
    = -2 \cos C [-\(\sin(A + B) - \sin(A - B)\)]
    =2cos⁡C[2cos⁡Asin⁡B]= 2 \cos C [2 \cos A \sin B]
    =4cos⁡Asin⁡Bcos⁡C= 4 \cos A \sin B \cos C

    যেহেতু C=180∘−2θC = 180^\circ - 2\theta, তাই cos⁡C=cos⁡(180∘−2θ)=−cos⁡2θ\cos C = \cos(180^\circ - 2\theta) = -\cos 2\theta

    ∴4cos⁡Asin⁡B(−cos⁡2θ)\therefore 4 \cos A \sin B (-\cos 2\theta)
    =−4cos⁡Asin⁡Bcos⁡2θ== -4 \cos A \sin B \cos 2\theta = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন