উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক • Combined Board • ঢাকা, যশোর, সিলেট, দিনাজপুর বোর্ড ২০১৮

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

 দৃশ্যকল্প-১: f(x)=3x2+5x দৃশ্যকল্প-২: B=[ℓmnℓ2 m2n2ℓ3−1 m3−1n3−1]\begin{array}{l}\text { দৃশ্যকল্প-১: } \mathrm{f}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{x} \\ \text { দৃশ্যকল্প-২: } \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}\ell & \mathrm{m} & \mathrm{n} \\ \ell^{2} & \mathrm{~m}^{2} & \mathrm{n}^{2} \\ \ell^{3}-1 & \mathrm{~m}^{3}-1 & \mathrm{n}^{3}-1\end{array}\right]\end{array}

  1. ক)

    যদি (x2x2)\left(\begin{array}{ll}x & 2 \\ x & 2\end{array}\right) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হয় তবে xx এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    A=(215−1434−75)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \\ -1 & 4 & 3 \\ 4 & -7 & 5\end{array}\right) হলে f(A)\mathrm{f}(\mathrm{A}) নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে,∣B∣=(ℓmn−1)(ℓ−m)(m−n)(n−ℓ)\mathrm{B}|=(\ell \mathrm{mn}-1)(\ell-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-\ell) .

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে যদি এর নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
    অতএব,
    |x 2|
    |x 2| = 0
    বা, 2x - 2x = 0
    বা, 0 = 0
    উক্ত সমীকরণটি x-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্যই সত্য।
    সুতরাং, x এর মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা (x ∈ ℝ)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x) = 3x² + 5x এবং
    A =
    [ 2 1 5]
    [-1 4 3]
    [ 4 -7 5]

    অতএব, f(A) = 3A² + 5A

    এখন,
    A² = A × A
    = [ 2 1 5] [ 2 1 5]
    [-1 4 3] [-1 4 3]
    [ 4 -7 5] [ 4 -7 5]

    = [ (4 - 1 + 20) (2 + 4 - 35) (10 + 3 + 25) ]
    [ (-2 - 4 + 12) (-1 + 16 - 21) (-5 + 12 + 15) ]
    [ (8 + 7 + 20) (4 - 28 - 35) (20 - 21 + 25) ]

    = [ 23 -29 38 ]
    [ 6 -6 22 ]
    [ 35 -59 24 ]

    সুতরাং,
    3A² = 3 × [ 23 -29 38 ]
    [ 6 -6 22 ]
    [ 35 -59 24 ]
    = [ 69 -87 114 ]
    [ 18 -18 66 ]
    [ 105 -177 72 ]

    এবং
    5A = 5 × [ 2 1 5]
    [-1 4 3]
    [ 4 -7 5]
    = [ 10 5 25]
    [-5 20 15]
    [ 20 -35 25]

    অতএব,
    f(A) = 3A² + 5A
    = [ 69 -87 114 ] + [ 10 5 25]
    [ 18 -18 66 ] [-5 20 15]
    [ 105 -177 72 ] [ 20 -35 25]

     = [  79  -82  139 ]
   [  13    2   81 ]
   [ 125 -212   97 ]
  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    B =
    [ ℓ m n ]
    [ ℓ² m² n² ]
    [ ℓ³ - 1 m³ - 1 n³ - 1]

    অতএব,
    |B| =
    | ℓ m n |
    | ℓ² m² n² |
    | ℓ³ - 1 m³ - 1 n³ - 1|

    নির্ণায়কের ধর্ম অনুসারে,
    |B| =
    | ℓ m n | | ℓ m n |
    | ℓ² m² n²| - | ℓ² m² n²|
    | ℓ³ m³ n³| | 1 1 1 |

    প্রথম নির্ণায়কের প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় কলাম থেকে যথাক্রমে ℓ, m, n সাধারণ নিয়ে:
    = ℓmn | 1 1 1 | | ℓ m n |
    | ℓ m n | - | ℓ² m² n²|
    | ℓ² m² n²| | 1 1 1 |

    দ্বিতীয় নির্ণায়কে সারি পরিবর্তন করে (R₃ কে R₁-এ আনতে দুটি সারি স্থানান্তর, ফলে চিহ্ন অপরিবর্তিত থাকে):
    = ℓmn | 1 1 1 | | 1 1 1 |
    | ℓ m n | - | ℓ m n |
    | ℓ² m² n²| | ℓ² m² n²|

    = (ℓmn - 1) | 1 1 1 |
    | ℓ m n |
    | ℓ² m² n²|

    এখন, C'₁ = C₁ - C₂ এবং C'₂ = C₂ - C₃ প্রয়োগ করে পাই:
    = (ℓmn - 1) | 0 0 1 |
    | ℓ - m m - n n |
    | ℓ² - m² m² - n² n² |

    প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করে পাই:
    = (ℓmn - 1) · 1 · [ (ℓ - m)(m² - n²) - (m - n)(ℓ² - m²) ]
    = (ℓmn - 1) · (ℓ - m)(m - n) · [ (m + n) - (ℓ + m) ]
    = (ℓmn - 1)(ℓ - m)(m - n)(m + n - ℓ - m)
    = (ℓmn - 1)(ℓ - m)(m - n)(n - ℓ)

    অতএব, |B| = (ℓmn - 1)(ℓ - m)(m - n)(n - ℓ) (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন