উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $3x^2 - mx + 4 = 0$
   ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $3\alpha$।
   মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha + 3\alpha = -\frac{-m}{3} \implies 4\alpha = \frac{m}{3} \implies \alpha = \frac{m}{12}$
   মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \cdot 3\alpha = \frac{4}{3} \implies 3\alpha^2 = \frac{4}{3} \implies \alpha^2 = \frac{4}{9}$
   $\alpha$-এর মান বসিয়ে পাই,
   $\left(\frac{m}{12}\right)^2 = \frac{4}{9} \implies \frac{m^2}{144} = \frac{4}{9} \implies m^2 = \frac{4 \times 144}{9} = 64$
   $\therefore m = \pm 8$ (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = ax^2 + bx + c = 0$
   ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $r\alpha$ (যেহেতু মূল দুটির অনুপাত $r$)।
   মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha + r\alpha = -\frac{b}{a} \implies \alpha(r+1) = -\frac{b}{a} \quad \dots (1)$
   মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \cdot r\alpha = \frac{c}{a} \implies r\alpha^2 = \frac{c}{a} \quad \dots (2)$
   (1) নং সমীকরণকে বর্গ করে পাই,
   $\alpha^2 (r+1)^2 = \frac{b^2}{a^2} \quad \dots (3)$
   (3) নং সমীকরণকে (2) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{\alpha^2 (r+1)^2}{r\alpha^2} = \frac{b^2 / a^2}{c / a}$
   $\implies \frac{(r+1)^2}{r} = \frac{b^2}{a^2} \times \frac{a}{c} = \frac{b^2}{ac}$
   $\therefore \frac{(r+1)^2}{r} = \frac{b^2}{ac}$ (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = x^2 - px + q = 0$
   সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$।
   $\therefore \alpha + \beta = p$
   এবং $\alpha\beta = q$

   এখন, নতুন সমীকরণের মূল দুটি হলো:
   প্রথম মূল $= \frac{q}{p - \alpha} = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta) - \alpha} = \frac{\alpha\beta}{\beta} = \alpha$
   দ্বিতীয় মূল $= \frac{q}{p - \beta} = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta) - \beta} = \frac{\alpha\beta}{\alpha} = \beta$

   অতএব, নির্ণেয় মূলদ্বয় হলো $\alpha$ এবং $\beta$।
   সুতরাং, মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
   $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$
   $\implies x^2 - px + q = 0$ (Ans.)