উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • সমতলে বস্তুকণার গতি • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

  1. ক)

    কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত a ও b বেগদ্বয়ের লব্ধি c এবং a এর দিক বরাবর c এর লম্বাংশের পরিমাণ b হলে দেখাও যে, c=b2−a2+2abc=\sqrt{b^{2}-a^{2}+2 a b}.

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপকের A বিন্দু হতে একটি গাড়ি AB বরাবর যাত্রা করে প্রথমে x সুষম ত্বরনে এবং পরে y সুষম মন্দনে চলে। যদি তা t সময়ে B বিন্দুতে গিয়ে থামে, তবে প্রমাণ কর যে, t22AB=1x+1y\frac{t^{2}}{2 \mathrm{AB}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপকের আলোকে প্রক্ষেপক দুটির ভ্রমণকাল t1t_{1} ও t2t_{2} হলে, প্রমাণ কর যে, t12−t22t12+t22=sin⁡(α−β)sin⁡(α+β)\frac{t_{1}{ }^{2}-t_{2}{ }^{2}}{t_{1}{ }^{2}+t_{2}{ }^{2}}=\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\sin (\alpha+\beta)}.

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বেগদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ\theta ধরি। aa-এর দিকে লব্ধির লম্বাংশ a+bcos⁡θ=ba+b\cos\theta=b; তাই bcos⁡θ=b−ab\cos\theta=b-a।

    অতএব c2=a2+b2+2abcos⁡θ=a2+b2+2a(b−a)=b2−a2+2abc^2=a^2+b^2+2ab\cos\theta=a^2+b^2+2a(b-a)=b^2-a^2+2ab। সুতরাং c=b2−a2+2ab\boxed{c=\sqrt{b^2-a^2+2ab}}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    যাত্রার শুরুতে গাড়ি স্থির এবং সর্বোচ্চ বেগ uu ধরি। ত্বরণ ও মন্দনের সময় যথাক্রমে tx=u/xt_x=u/x এবং ty=u/yt_y=u/y; তাই t=u(1/x+1/y)t=u(1/x+1/y)।

    বেগ-সময় লেখচিত্র দুটি ত্রিভুজের সমষ্টি। অতিক্রান্ত দূরত্ব AB=12u(tx+ty)=12utAB=\frac12u(t_x+t_y)=\frac12ut; ফলে u=2AB/tu=2AB/t।

    এটি মোট সময়ের সমীকরণে বসালে t=2ABt(1x+1y)t=\frac{2AB}{t}(\frac1x+\frac1y), অর্থাৎ t22AB=1x+1y\boxed{\frac{t^2}{2AB}=\frac1x+\frac1y}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    চিত্রে A ও B একই অনুভূমিক স্তরে। অনুভূমিকের সঙ্গে উৎক্ষেপণ কোণ যথাক্রমে α,β\alpha,\beta, প্রাথমিক দ্রুতি u1,u2u_1,u_2 এবং উভয়ের অনুভূমিক পাল্লা R=ABR=AB ধরি। বায়ুর বাধা উপেক্ষা করে

    t1=2u1sin⁡αgt_1=\frac{2u_1\sin\alpha}{g}, R=u12sin⁡2αgR=\frac{u_1^2\sin2\alpha}{g}। এই দুটি থেকে

    t12=4u12sin⁡2αg2=2Rgtan⁡αt_1^2=\frac{4u_1^2\sin^2\alpha}{g^2}=\frac{2R}{g}\tan\alpha। একইভাবে t22=2Rgtan⁡βt_2^2=\frac{2R}{g}\tan\beta।

    তাই t12−t22t12+t22=tan⁡α−tan⁡βtan⁡α+tan⁡β\frac{t_1^2-t_2^2}{t_1^2+t_2^2}=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}। লব ও হরকে cos⁡αcos⁡β\cos\alpha\cos\beta দিয়ে গুণ করলে পাওয়া যায়

    t12−t22t12+t22=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡βsin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β=sin⁡(α−β)sin⁡(α+β)\boxed{\frac{t_1^2-t_2^2}{t_1^2+t_2^2}=\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}}।

    একই স্তরের উৎক্ষেপণ-অবতরণ ও একই পাল্লা এই প্রমাণের প্রয়োজনীয় শর্ত; চিত্র থেকে সেগুলি নেওয়া হয়েছে।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন