গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $x^2 > ১৫$ থেকে $x \ge ৪$ (কারণ $৩^2 = ৯ < ১৫$, $৪^2 = ১৬ > ১৫$)।

   $x^3 < ২২৫$ থেকে $x \le ৬$ (কারণ $৬^3 = ২১৬ < ২২৫$, $৭^3 = ৩৪৩ > ২২৫$)।

   সুতরাং, $S = \{৪, ৫, ৬\}$।

2. খ)

   $A = ২x - ১$, $x = ৩$ হলে $A = ২ \times ৩ - ১ = ৫$। প্রমাণ করতে হবে, $\sqrt{৫}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

   প্রমাণ: ধরি, $\sqrt{৫}$ একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে $\sqrt{৫} = \dfrac{p}{q}$, যেখানে $p, q$ পরস্পর সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা এবং $q \ne ০$।

   $\Rightarrow ৫ = \dfrac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = ৫q^2$

   অতএব $p^2$ কে ৫ দ্বারা ভাগ করা যায়, তাই $p$ কে ৫ দ্বারা ভাগ করা যায়। ধরি $p = ৫k$।

   তাহলে $২৫k^2 = ৫q^2 \Rightarrow q^2 = ৫k^2$। অর্থাৎ $q$ কেও ৫ দ্বারা ভাগ করা যায়।

   এতে $p$ ও $q$ উভয়েরই একটি সাধারণ উৎপাদক ৫ পাওয়া যায়, যা $p, q$ সহমৌলিক হওয়ার বিপরীত। সুতরাং, $\sqrt{৫}$ মূলদ নয়; এটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)

3. গ)

   $B = \{x \in \mathbb{N} : x^2 < ১০\} = \{১, ২, ৩\}$

   $C = \{x \in \mathbb{N} : ২ < x \le ৭$ এবং $x$ মৌলিক সংখ্যা$\} = \{৩, ৫, ৭\}$

   শর্ত $y = x + ১$:

   $x = ১$ হলে $y = ২ \notin C$

   $x = ২$ হলে $y = ৩ \in C$

   $x = ৩$ হলে $y = ৪ \notin C$

   সুতরাং, $S = \{(২, ৩)\}$।

   ডোমেন $= \{২\}$ এবং রেঞ্জ $= \{৩\}$।