গণিত • বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত (Algebraic Ratio and Proportion) • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২০

গণিত প্রশ্ন

12y=1p+1q\frac{12}{y}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q} এবং x2−2axb+1=0x^{2}-\frac{2 a x}{b}+1=0 .

  1. ক)

    log⁡231728\log _{2 \sqrt{3}} 1728 এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, y+6py−6p+y+6qy−6q=2\frac{y+6 p}{y-6 p}+\frac{y+6 q}{y-6 q}=2 .

    (2)
  3. গ)

    দেখাও যে, x=a+b+a−ba+b−a−bx=\frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}} .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    (23)2=12(2\sqrt{3})^2=12, তাই 1728=123=((23)2)3=(23)61728=12^3=\left((2\sqrt{3})^2\right)^3=(2\sqrt{3})^6।

    log⁡231728=log⁡23(23)6=6\log_{2\sqrt{3}}1728=\log_{2\sqrt{3}}(2\sqrt{3})^6=\mathbf{6}

  2. খ)

    দেওয়া আছে 12y=1p+1q=p+qpq\frac{12}{y}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{p+q}{pq}, অতএব y=12pqp+qy=\frac{12pq}{p+q} এবং y6p=2qp+q\frac{y}{6p}=\frac{2q}{p+q}, y6q=2pp+q\frac{y}{6q}=\frac{2p}{p+q}।

    বামপক্ষের প্রথম পদ =y6p+1y6p−1=2q+p+q2q−p−q=p+3qq−p=\frac{\frac{y}{6p}+1}{\frac{y}{6p}-1}=\frac{2q+p+q}{2q-p-q}=\frac{p+3q}{q-p}

    দ্বিতীয় পদ =y6q+1y6q−1=2p+p+q2p−p−q=3p+qp−q=−3p+qq−p=\frac{\frac{y}{6q}+1}{\frac{y}{6q}-1}=\frac{2p+p+q}{2p-p-q}=\frac{3p+q}{p-q}=-\frac{3p+q}{q-p}

    যোগফল =p+3q−3p−qq−p=2q−2pq−p=2=\frac{p+3q-3p-q}{q-p}=\frac{2q-2p}{q-p}=2 (প্রমাণিত)

  3. গ)

    x2−2axb+1=0⇒x2+1=2axb⇒x2+12x=abx^2-\frac{2ax}{b}+1=0\Rightarrow x^2+1=\frac{2ax}{b}\Rightarrow\frac{x^2+1}{2x}=\frac{a}{b}

    যোজন-বিয়োজন করে, x2+1+2xx2+1−2x=a+ba−b\frac{x^2+1+2x}{x^2+1-2x}=\frac{a+b}{a-b}, অর্থাৎ (x+1)2(x−1)2=a+ba−b\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}=\frac{a+b}{a-b}

    বর্গমূল নিয়ে, x+1x−1=a+ba−b\frac{x+1}{x-1}=\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}

    আবার যোজন-বিয়োজন করে, (x+1)+(x−1)(x+1)−(x−1)=a+b+a−ba+b−a−b\frac{(x+1)+(x-1)}{(x+1)-(x-1)}=\frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}

    ⇒2x2=…⇒x=a+b+a−ba+b−a−b\Rightarrow\frac{2x}{2}=\ldots\Rightarrow x=\frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}} (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন