উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ:
   $(a - 1)x^2 + (a + 2)x + 4 = 0$

   সমীকরণটি দ্বিঘাত হওয়ার শর্তমতে, $a - 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq 1$।

   সমীকরণটির নিশ্চায়ক (Discriminant),
   $D = B^2 - 4AC$
   $= (a + 2)^2 - 4(a - 1)(4)$
   $= a^2 + 4a + 4 - 16(a - 1)$
   $= a^2 + 4a + 4 - 16a + 16$
   $= a^2 - 12a + 20$

   সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে যদি এবং কেবল যদি নিশ্চায়ক শূন্য হয়, অর্থাৎ $D = 0$ হয়।
   অতএব,
   $a^2 - 12a + 20 = 0$
   $\Rightarrow a^2 - 10a - 2a + 20 = 0$
   $\Rightarrow a(a - 10) - 2(a - 10) = 0$
   $\Rightarrow (a - 2)(a - 10) = 0$

   সুতরাং, $a = 2$ অথবা $a = 10$।

   যেহেতু উভয় মানই $a \neq 1$ শর্ত পূরণ করে, তাই $a$ এর নির্ণেয় মান 2 অথবা 10।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ এ প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
   $x^2 - 2x + b = 0$ ....... (১)
   $x^2 - bx + 2 = 0$ ....... (২)

   ধরি, (১) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$।
   অতএব,
   $\alpha + \beta = -\frac{-2}{1} = 2$
   $\alpha\beta = b$

   (১) নং সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্যের বর্গ,
   $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$
   $= 2^2 - 4b$
   $= 4 - 4b$

   আবার, ধরি (২) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\gamma$ ও $\delta$।
   অতএব,
   $\gamma + \delta = -\frac{-b}{1} = b$
   $\gamma\delta = 2$

   (২) নং সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্যের বর্গ,
   $(\gamma - \delta)^2 = (\gamma + \delta)^2 - 4\gamma\delta$
   $= b^2 - 4(2)$
   $= b^2 - 8$

   প্রশ্নমতে, উভয় সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য একটি ধ্রুব রাশি (ধরি, $k$)।
   অর্থাৎ, $|\alpha - \beta| = |\gamma - \delta| = k$
   বর্গ করে পাই,
   $(\alpha - \beta)^2 = (\gamma - \delta)^2$
   $\Rightarrow 4 - 4b = b^2 - 8$
   $\Rightarrow b^2 + 4b - 8 - 4 = 0$
   $\Rightarrow b^2 + 4b - 12 = 0$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ এ প্রদত্ত সমীকরণ:
   $x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 22x + 12 = 0$ ....... (১)

   যেহেতু সমীকরণটির সহগগুলো বাস্তব সংখ্যা এবং এর একটি মূল $1 + i$,
   সুতরাং অপর একটি মূল এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা $1 - i$ হবে।

   উক্ত মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত দ্বিঘাত রাশি:
   $[x - (1 + i)][x - (1 - i)] = 0$
   $\Rightarrow \{(x - 1) - i\}\{(x - 1) + i\} = 0$
   $\Rightarrow (x - 1)^2 - i^2 = 0$
   $\Rightarrow x^2 - 2x + 1 - (-1) = 0$
   $\Rightarrow x^2 - 2x + 2 = 0$

   অতএব, $(x^2 - 2x + 2)$ রাশিটি (১) নং সমীকরণের বামপক্ষের একটি উৎপাদক।

   এখন, (১) নং সমীকরণটির বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
   $x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 22x + 12 = 0$
   $\Rightarrow x^2(x^2 - 2x + 2) - 5x(x^2 - 2x + 2) + 6(x^2 - 2x + 2) = 0$
   $\Rightarrow (x^2 - 2x + 2)(x^2 - 5x + 6) = 0$

   হয়, $x^2 - 2x + 2 = 0$
   অথবা, $x^2 - 5x + 6 = 0$

   $x^2 - 5x + 6 = 0$ সমীকরণটি সমাধান করে পাই:
   $\Rightarrow x^2 - 3x - 2x + 6 = 0$
   $\Rightarrow x(x - 3) - 2(x - 3) = 0$
   $\Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0$
   $\Rightarrow x = 2, 3$

   এবং $x^2 - 2x + 2 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় হলো $1 \pm i$।

   অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $x = 2, 3, 1 \pm i$।