উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $x^3 + x^2 + 4x + 4 = 0$
   বা, $x^2(x + 1) + 4(x + 1) = 0$
   বা, $(x + 1)(x^2 + 4) = 0$

   হয়, $x + 1 = 0 \implies x = -1$
   অথবা, $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4 \implies x = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i$

   যেহেতু একটি মূল $2i$ দেওয়া আছে, তাই সমীকরণটির সমাধানসমূহ হলো: $x = -1, 2i, -2i$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $\phi(x) = \ell x^2 + mx + n = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $a$ ও $b$।
   অতএব, মূলদ্বয়ের যোগফল, $a + b = -\frac{m}{\ell}$
   এবং গুণফল, $ab = \frac{n}{\ell}$

   দ্বিতীয় সমীকরণটি হলো:
   $n\ell(x^2 + 1) + (2n\ell - m^2)x = 0$
   বা, $n\ell x^2 + 2n\ell x - m^2 x + n\ell = 0$
   বা, $n\ell(x^2 + 2x + 1) - m^2 x = 0$
   বা, $n\ell(x + 1)^2 - m^2 x = 0$

   উভয়পক্ষকে $\ell^2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{n}{\ell}(x + 1)^2 - \left(-\frac{m}{\ell}\right)^2 x = 0$
   বা, $ab(x + 1)^2 - (a + b)^2 x = 0$
   বা, $ab(x^2 + 2x + 1) - (a^2 + 2ab + b^2)x = 0$
   বা, $abx^2 + 2abx + ab - a^2 x - 2abx - b^2 x = 0$
   বা, $abx^2 - (a^2 + b^2)x + ab = 0$
   বা, $abx^2 - a^2 x - b^2 x + ab = 0$
   বা, $ax(bx - a) - b(bx - a) = 0$
   বা, $(ax - b)(bx - a) = 0$

   সুতরাং, $ax - b = 0 \implies x = \frac{b}{a}$
   অথবা, $bx - a = 0 \implies x = \frac{a}{b}$

   অতএব, নির্ণেয় মূলদ্বয় হলো: $\frac{a}{b}, \frac{b}{a}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $\ell = 42, m = -13, n = 1$
   অতএব, $\phi(x) = 42x^2 - 13x + 1$

   আমরা $\phi(x)$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
   $\phi(x) = 42x^2 - 7x - 6x + 1 = 7x(6x - 1) - 1(6x - 1) = (6x - 1)(7x - 1) = (1 - 6x)(1 - 7x)$

   অতএব,
   $\{\phi(x)\}^{-1} = \frac{1}{(1 - 6x)(1 - 7x)}$

   আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করে পাই,
   $\frac{1}{(1 - 6x)(1 - 7x)} = \frac{A}{1 - 6x} + \frac{B}{1 - 7x}$
   $1 = A(1 - 7x) + B(1 - 6x)$

   $x = \frac{1}{6}$ বসালে: $1 = A\left(1 - \frac{7}{6}\right) \implies 1 = -\frac{1}{6}A \implies A = -6$
   $x = \frac{1}{7}$ বসালে: $1 = B\left(1 - \frac{6}{7}\right) \implies 1 = \frac{1}{7}B \implies B = 7$

   সুতরাং,
   $\{\phi(x)\}^{-1} = \frac{7}{1 - 7x} - \frac{6}{1 - 6x} = 7(1 - 7x)^{-1} - 6(1 - 6x)^{-1}$

   আমরা জানি, $(1 - y)^{-1} = 1 + y + y^2 + \dots + y^r + \dots$
   অতএব, বিস্তৃতিতে $x^r$-এর সহগ:
   $= 7 \cdot 7^r - 6 \cdot 6^r = 7^{r+1} - 6^{r+1}$

   অতএব, $x^{99}$-এর সহগের জন্য $r = 99$ বসিয়ে পাই:
   নির্ণেয় সহগ $= 7^{99+1} - 6^{99+1} = 7^{100} - 6^{100}$।