উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১ :
x−2y+z=12x+6y−z=2x+3y−3z=3\begin{array}{l}x-2 y+z=1 \\ 2 x+6 y-z=2 \\ x+3 y-3 z=3\end{array}
দৃশ্যকল্প-২ :
Δ=∣1xx21yy21zz2∣,Δ1=∣111yzzxxyxyz∣\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right|, \quad \Delta_{1}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ y z & z x & x y \\ x & y & z\end{array}\right|

  1. ক)

    দেখাও যে, [2−13−2]\left[\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 3 & -2\end{array}\right] একটি অভেদঘাতী ম্যাট্রিক্স।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি নির্ণায়ক পদ্ধতিতে সমাধান কর।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ ব্যবহার করে দেখাও যে, Δ+Δ1=0\Delta+\Delta_{1}=0

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, A=[2−13−2]A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}

    এখন,
    A2=A⋅A=[2−13−2][2−13−2]A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}
    =[2(2)+(−1)(3)2(−1)+(−1)(−2)3(2)+(−2)(3)3(−1)+(−2)(−2)]= \begin{bmatrix} 2(2) + (-1)(3) & 2(-1) + (-1)(-2) \\ 3(2) + (-2)(3) & 3(-1) + (-2)(-2) \end{bmatrix}
    =[4−3−2+26−6−3+4]= \begin{bmatrix} 4 - 3 & -2 + 2 \\ 6 - 6 & -3 + 4 \end{bmatrix}
    =[1001]=I= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I

    যেহেতু A2=IA^2 = I, সুতরাং প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি অভেদঘাতী ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ জোট:
    x−2y+z=1x - 2y + z = 1
    2x+6y−z=22x + 6y - z = 2
    x+3y−3z=3x + 3y - 3z = 3

    সহগ নির্ণায়ক:
    D=∣1−2126−113−3∣D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 6 & -1 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix}
    =1(−18+3)−(−2)(−6+1)+1(6−6)= 1(-18 + 3) - (-2)(-6 + 1) + 1(6 - 6)
    =1(−15)+2(−5)+1(0)=−15−10=−25≠0= 1(-15) + 2(-5) + 1(0) = -15 - 10 = -25 \neq 0

    এখন,
    Dx=∣1−2126−133−3∣D_x = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 6 & -1 \\ 3 & 3 & -3 \end{vmatrix}
    =1(−18+3)+2(−6+3)+1(6−18)= 1(-18 + 3) + 2(-6 + 3) + 1(6 - 18)
    =1(−15)+2(−3)+1(−12)=−15−6−12=−33= 1(-15) + 2(-3) + 1(-12) = -15 - 6 - 12 = -33

    Dy=∣11122−113−3∣D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix}
    =1(−6+3)−1(−6+1)+1(6−2)= 1(-6 + 3) - 1(-6 + 1) + 1(6 - 2)
    =1(−3)−1(−5)+1(4)=−3+5+4=6= 1(-3) - 1(-5) + 1(4) = -3 + 5 + 4 = 6

    Dz=∣1−21262133∣D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 6 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix}
    =1(18−6)+2(6−2)+1(6−6)= 1(18 - 6) + 2(6 - 2) + 1(6 - 6)
    =1(12)+2(4)+0=12+8=20= 1(12) + 2(4) + 0 = 12 + 8 = 20

    ক্র্যামারের নিয়মানুযায়ী,
    x=DxD=−33−25=3325x = \frac{D_x}{D} = \frac{-33}{-25} = \frac{33}{25}
    y=DyD=6−25=−625y = \frac{D_y}{D} = \frac{6}{-25} = -\frac{6}{25}
    z=DzD=20−25=−45z = \frac{D_z}{D} = \frac{20}{-25} = -\frac{4}{5}

    অতএব, নির্ণেয় সমাধান: (x,y,z)=(3325,−625,−45)(x, y, z) = \left(\frac{33}{25}, -\frac{6}{25}, -\frac{4}{5}\right)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    Δ=∣1xx21yy21zz2∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix}

    এবং Δ1=∣111yzzxxyxyz∣\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ yz & zx & xy \\ x & y & z \end{vmatrix}

    Δ1\Delta_1 এর প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় কলামকে যথাক্রমে x,y,zx, y, z দ্বারা গুণ করে এবং বাইরে 1xyz\frac{1}{xyz} দিয়ে ভাগ করে পাই,
    Δ1=1xyz∣xyzxyzxyzxyzx2y2z2∣\Delta_1 = \frac{1}{xyz} \begin{vmatrix} x & y & z \\ xyz & xyz & xyz \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}

    দ্বিতীয় সারি হতে সাধারণ উপাদান xyzxyz বের করে পাই,
    Δ1=xyzxyz∣xyz111x2y2z2∣=∣xyz111x2y2z2∣\Delta_1 = \frac{xyz}{xyz} \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}

    ১ম সারি ও ২য় সারির স্থান বিনিময় করে পাই (চিহ্ন পরিবর্তিত হবে):
    Δ1=−∣111xyzx2y2z2∣\Delta_1 = - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}

    নির্ণায়কের সারিগুলোকে কলামে রূপান্তরিত করে (Transpose নিয়ে) পাই:
    Δ1=−∣1xx21yy21zz2∣=−Δ\Delta_1 = - \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = - \Delta

    ∴Δ1=−Δ\therefore \Delta_1 = - \Delta
      ⟹  Δ+Δ1=0\implies \Delta + \Delta_1 = 0 (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন