উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $y = \operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1+x^2}{2x}\right)$
   $\implies y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$
   আমরা জানি, $\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = 2\tan^{-1}x$ (যখন $|x| \le 1$)
   অতএব, $y = 2\tan^{-1}x$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \tan^{-1}x$
   সুতরাং, $y = \tan\{m\tan^{-1}x\}$
   $\implies \tan^{-1}y = m\tan^{-1}x$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
   $\frac{1}{1+y^2} \cdot y_1 = \frac{m}{1+x^2}$
   $\implies (1+x^2)y_1 = m(1+y^2)$

   পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
   $\frac{d}{dx}[(1+x^2)y_1] = m \frac{d}{dx}(1+y^2)$
   $\implies (1+x^2)y_2 + 2x y_1 = m(2y y_1)$
   $\implies (1+x^2)y_2 + 2xy_1 = 2myy_1$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $2g(x) = 2\sin x + \sin 2x$
   $\implies g(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin 2x$

   $g'(x) = \cos x + \frac{1}{2}(2\cos 2x) = \cos x + \cos 2x$
   চরমমানের জন্য, $g'(x) = 0$
   $\implies \cos 2x + \cos x = 0$
   $\implies 2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0$
   $\implies 2\cos^2 x + 2\cos x - \cos x - 1 = 0$
   $\implies 2\cos x(\cos x + 1) - 1(\cos x + 1) = 0$
   $\implies (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$

   যেহেতু $0 < x < \pi$, তাই $\cos x + 1 \neq 0$ (কারণ $x = \pi$ ব্যবধির বাইরে)।
   সুতরাং, $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$
   $\implies x = \frac{\pi}{3} \in (0, \pi)$

   এখন, দ্বিতীয় অন্তরজ নির্ণয় করি:
   $g''(x) = -\sin x - 2\sin 2x$
   $x = \frac{\pi}{3}$ বিন্দুতে,
   $g''\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} - 2\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} < 0$

   যেহেতু $g''\left(\frac{\pi}{3}\right) < 0$, তাই $x = \frac{\pi}{3}$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান (সর্বোচ্চ মান) বিদ্যমান।

   নির্ণেয় চরমমান (গুরুমান):
   $g\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$।