উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\ln(2xy) = x + y$
   বা, $\ln 2 + \ln x + \ln y = x + y$

   $x$-এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $0 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$

   বা, $\left(\frac{1}{y} - 1\right)\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x}$
   বা, $\left(\frac{1 - y}{y}\right)\frac{dy}{dx} = \frac{x - 1}{x}$
   বা, $\frac{dy}{dx} = \frac{y(x - 1)}{x(1 - y)}$

   নির্ণেয় $\frac{dy}{dx} = \frac{y(x - 1)}{x(1 - y)}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে,
   $y = \cos(m\sin^{-1}x)$
   যেহেতু $m = 3$, সুতরাং $y = \cos(3\sin^{-1}x)$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{dy}{dx} = -\sin(3\sin^{-1}x) \cdot \frac{d}{dx}(3\sin^{-1}x)$
   বা, $y_1 = -\sin(3\sin^{-1}x) \cdot \frac{3}{\sqrt{1 - x^2}}$
   বা, $\sqrt{1 - x^2} y_1 = -3\sin(3\sin^{-1}x)$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(1 - x^2) y_1^2 = 9\sin^2(3\sin^{-1}x)$
   বা, $(1 - x^2) y_1^2 = 9\{1 - \cos^2(3\sin^{-1}x)\}$
   বা, $(1 - x^2) y_1^2 = 9(1 - y^2)$

   পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $(1 - x^2) \cdot 2y_1 y_2 + y_1^2(-2x) = 9(-2y y_1)$
   বা, $2y_1 \left\{ (1 - x^2) y_2 - x y_1 \right\} = -18y y_1$

   যেহেতু সাধারণভাবে $y_1 \neq 0$, উভয়পক্ষকে $2y_1$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $(1 - x^2)y_2 - x y_1 = -9y$
   বা, $(1 - x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - x\frac{dy}{dx} + 9y = 0$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে,
   $f(x, y) = x^3 - 2y^2 - 5$
   প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ: $f(x, y) = 0$
   বা, $x^3 - 2y^2 - 5 = 0$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $3x^2 - 4y\frac{dy}{dx} - 0 = 0$
   বা, $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{4y}$

   $(2, 1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,1)} = \frac{3(2)^2}{4(1)} = \frac{12}{4} = 3$

   (i) $(2, 1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
   $y - y_1 = m(x - x_1)$
   বা, $y - 1 = 3(x - 2)$
   বা, $y - 1 = 3x - 6$
   বা, $3x - y - 5 = 0$

   (ii) $(2, 1)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ:
   $y - y_1 = -\frac{1}{m}(x - x_1)$
   বা, $y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 2)$
   বা, $3(y - 1) = -(x - 2)$
   বা, $3y - 3 = -x + 2$
   বা, $x + 3y - 5 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ $3x - y - 5 = 0$ এবং অভিলম্বের সমীকরণ $x + 3y - 5 = 0$।