উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ডানপক্ষ $= \frac{2}{\sqrt{2-2\sin x}} = \frac{2}{\sqrt{2(1 - \sin x)}} = \frac{2}{\sqrt{2\left(1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right)}} = \frac{2}{\sqrt{2 \cdot 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)}} = \frac{2}{2\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right)} = \frac{1}{\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)} = \sec\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) =$ বামপক্ষ।
   (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, $B = 30^\circ$।

   বামপক্ষ $= 16 \sin \frac{B}{3} \sin \frac{5B}{3} \sin \frac{7B}{3} = 16 \sin \frac{30^\circ}{3} \sin \frac{5 \times 30^\circ}{3} \sin \frac{7 \times 30^\circ}{3} = 16 \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = 16 \sin 10^\circ \sin(60^\circ - 10^\circ) \sin(60^\circ + 10^\circ)$

   আমরা জানি, $\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4}\sin 3\theta$।
   এখানে $\theta = 10^\circ$ বসালে,
   $= 16 \times \frac{1}{4} \sin(3 \times 10^\circ) = 4 \sin 30^\circ = 4 \times \frac{1}{2} = 2$

   আবার, ডানপক্ষ $= \operatorname{cosec} B = \operatorname{cosec} 30^\circ = 2$

   $\therefore 16 \sin \frac{B}{3} \sin \frac{5B}{3} \sin \frac{7B}{3} = \operatorname{cosec} B$।
   (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $A = 45^\circ$
   উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, $B = 30^\circ$
   বাহু $c = (\sqrt{3} + 1)$ সে.মি.

   আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
   $\therefore C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

   এখন,
   $\sin C = \sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$

   সাইন সূত্রানুসারে,
   $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{(\sqrt{3} + 1) \sin 45^\circ}{\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}} = 2$ সে.মি.

   $\therefore \Delta ABC$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} a c \sin B = \frac{1}{2} \times 2 \times (\sqrt{3} + 1) \times \sin 30^\circ = (\sqrt{3} + 1) \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ বর্গ সে.মি.
   $\approx 1.366$ বর্গ সে.মি.

   উত্তর: $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ বর্গ সে.মি. (বা প্রায় $1.366$ বর্গ সে.মি.)