উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

নিচের সমীকরণ জোটটি লক্ষ্য কর: x−y+z=2x-y+z=2 2x+z=5x+2y−3z=−4\begin{array}{l} 2 x+z=5 \\ x+2 y-3 z=-4 \end{array}

  1. ক)

    বিস্তার না করে দেখাও যে, ∣∣2a6−a3b9−b9c27−c∣=0\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 6-a \\ 3 & b & 9-b \\ 9 & c & 27-c\end{array}\right|=0

    (2)
  2. খ)

    ক্রেমারের নিয়মে উদ্দীপকের সমীকরণ জোটটি সমাধান কর।

    (4)
  3. গ)

    সমীকরণ জোটটির সহগুণকগুলো নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বামপক্ষ =∣2a6−a3b9−b9c27−c∣=\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 6-a \\ 3 & b & 9-b \\ 9 & c & 27-c\end{array}\right|

    C3′=C3+C2C_3' = C_3 + C_2 প্রয়োগ করে পাই,
    =∣2a63b99c27∣=\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 6 \\ 3 & b & 9 \\ 9 & c & 27\end{array}\right|

    তৃতীয় কলাম থেকে 33 সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বের করে পাই,
    =3∣2a23b39c9∣= 3 \left|\begin{array}{ccc}2 & a & 2 \\ 3 & b & 3 \\ 9 & c & 9\end{array}\right|

    যেহেতু প্রথম কলাম (C1C_1) এবং তৃতীয় কলাম (C3C_3) সর্বসম (C1=C3C_1 = C_3),
    কাজেই নির্ণায়কের মান শূন্য।
    =3×0=0== 3 \times 0 = 0 = ডানপক্ষ। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ জোট:
    x−y+z=2x - y + z = 2
    2x+0y+z=52x + 0y + z = 5
    x+2y−3z=−4x + 2y - 3z = -4

    সহগ নির্ণায়ক,
    D=∣1−1120112−3∣D = \left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -3\end{array}\right|
    =1(0−2)−(−1)(−6−1)+1(4−0)=−2+1(−7)+4=−2−7+4=−5≠0= 1(0 - 2) - (-1)(-6 - 1) + 1(4 - 0) = -2 + 1(-7) + 4 = -2 - 7 + 4 = -5 \neq 0

    Dx=∣2−11501−42−3∣D_x = \left|\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 2 & -3\end{array}\right|
    =2(0−2)−(−1)(−15−(−4))+1(10−0)=−4+1(−11)+10=−5= 2(0 - 2) - (-1)(-15 - (-4)) + 1(10 - 0) = -4 + 1(-11) + 10 = -5

    Dy=∣1212511−4−3∣D_y = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & -4 & -3\end{array}\right|
    =1(−15−(−4))−2(−6−1)+1(−8−5)=−11−2(−7)−13=−11+14−13=−10= 1(-15 - (-4)) - 2(-6 - 1) + 1(-8 - 5) = -11 - 2(-7) - 13 = -11 + 14 - 13 = -10 না, আবার হিসাব:
    Dy=1(−15+4)−2(−6−1)+1(−8−5)=−11+14−13=−10D_y = 1(-15+4) - 2(-6-1) + 1(-8-5) = -11 + 14 - 13 = -10
    পুনরায় পরীক্ষা: 2x+z=5⇒2(2)+1=52x+z=5 \Rightarrow 2(2)+1=5, x−y+z=2−(−1)+1=4≠2x-y+z = 2-(-1)+1=4 \neq 2, সমীকরণ ছিল x−y+z=2x-y+z=2।
    যদি x=2,y=1,z=1x=2, y=1, z=1 হয়: 2−1+1=22-1+1=2, 2(2)+1=52(2)+1=5, 2+2(1)−3(1)=1≠−42+2(1)-3(1)=1 \neq -4।
    সরাসরি সমাধান:
    Dy=∣1212511−4−3∣=1(−15+4)−2(−6−1)+1(−8−5)=−11+14−13=−10D_y = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & -4 & -3\end{array}\right| = 1(-15+4) - 2(-6-1) + 1(-8-5) = -11 + 14 - 13 = -10?
    না, y=DyDy = \frac{D_y}{D}:
    Dz=∣1−1220512−4∣=1(0−10)−(−1)(−8−5)+2(4−0)=−10+1(−13)+8=−15D_z = \left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 5 \\ 1 & 2 & -4\end{array}\right| = 1(0 - 10) - (-1)(-8 - 5) + 2(4 - 0) = -10 + 1(-13) + 8 = -15
    তাহলে:
    x=DxD=−5−5=1x = \frac{D_x}{D} = \frac{-5}{-5} = 1
    y=DyD=−10−5=2y = \frac{D_y}{D} = \frac{-10}{-5} = 2 নয়, চলুন DyD_y পুনঃগণনা করি:
    Dy=1(5(−3)−1(−4))−2(2(−3)−1(1))+1(2(−4)−5(1))=1(−15+4)−2(−6−1)+1(−8−5)=−11−2(−7)−13=−11+14−13=−10D_y = 1(5(-3) - 1(-4)) - 2(2(-3) - 1(1)) + 1(2(-4) - 5(1)) = 1(-15+4) - 2(-6-1) + 1(-8-5) = -11 - 2(-7) - 13 = -11 + 14 - 13 = -10.
    অতএব,
    x=DxD=−5−5=1x = \frac{D_x}{D} = \frac{-5}{-5} = 1
    y=DyD=−10−5=2y = \frac{D_y}{D} = \frac{-10}{-5} = 2
    z=DzD=−15−5=3z = \frac{D_z}{D} = \frac{-15}{-5} = 3

    যাচাই:
    (i) 1−2+3=21 - 2 + 3 = 2 (সঠিক)
    (ii) 2(1)+3=52(1) + 3 = 5 (সঠিক)
    (iii) 1+2(2)−3(3)=1+4−9=−41 + 2(2) - 3(3) = 1 + 4 - 9 = -4 (সঠিক)

    অতএব, নির্ণেয় সমাধান: x=1,y=2,z=3x = 1, y = 2, z = 3।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    সহগ ম্যাট্রিক্স A=[1−1120112−3]A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{bmatrix}

    এর উপাদানসমূহের সহগুণকসমূহ:
    C11=+∣012−3∣=−2C_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = -2
    C12=−∣211−3∣=−(−6−1)=7C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -(-6 - 1) = 7
    C13=+∣2012∣=4C_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4

    C21=−∣−112−3∣=−(3−2)=−1C_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = -(3 - 2) = -1
    C22=+∣111−3∣=−3−1=−4C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -3 - 1 = -4
    C23=−∣1−112∣=−(2−(−1))=−3C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - (-1)) = -3

    C31=+∣−1101∣=−1−0=−1C_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 0 = -1
    C32=−∣1121∣=−(1−2)=1C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 2) = 1
    C33=+∣1−120∣=0−(−2)=2C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2

    সহগুণকগুলো নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স:
    B=[−274−1−4−3−112]B = \begin{bmatrix} -2 & 7 & 4 \\ -1 & -4 & -3 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}

    BB এর নির্ণায়কের মান:
    ∣B∣=−2(−8−(−3))−7(−2−3)+4(−1−4)|B| = -2(-8 - (-3)) - 7(-2 - 3) + 4(-1 - 4)
    =−2(−5)−7(−5)+4(−5)=10+35−20=25≠0= -2(-5) - 7(-5) + 4(-5) = 10 + 35 - 20 = 25 \neq 0

    অতএব B−1B^{-1} বিদ্যমান।
    এখন BB এর সহগুণক ম্যাট্রিক্স MM নির্ণয় করি:
    M11=+(−8−(−3))=−5M_{11} = +(-8 - (-3)) = -5
    M12=−(−2−3)=5M_{12} = -(-2 - 3) = 5
    M13=+(−1−4)=−5M_{13} = +(-1 - 4) = -5
    M21=−(14−4)=−10M_{21} = -(14 - 4) = -10
    M22=+(−4−(−4))=0M_{22} = +(-4 - (-4)) = 0
    M23=−(−2−(−7))=−5M_{23} = -(-2 - (-7)) = -5
    M31=+(−21−(−16))=−5M_{31} = +(-21 - (-16)) = -5
    M32=−(6−(−4))=−10M_{32} = -(6 - (-4)) = -10
    M33=+(8−(−7))=15M_{33} = +(8 - (-7)) = 15

    adj⁡(B)=MT=[−5−10−550−10−5−515]\operatorname{adj}(B) = M^T = \begin{bmatrix} -5 & -10 & -5 \\ 5 & 0 & -10 \\ -5 & -5 & 15 \end{bmatrix}

    অতএব, B−1=1∣B∣adj⁡(B)=125[−5−10−550−10−5−515]=[−1/5−2/5−1/51/50−2/5−1/5−1/53/5]B^{-1} = \frac{1}{|B|} \operatorname{adj}(B) = \frac{1}{25} \begin{bmatrix} -5 & -10 & -5 \\ 5 & 0 & -10 \\ -5 & -5 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/5 & -2/5 & -1/5 \\ 1/5 & 0 & -2/5 \\ -1/5 & -1/5 & 3/5 \end{bmatrix}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন