উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

  1. ক)

    sin⁡cot⁡−1tan⁡sec⁡−1x\sin \cot ^{-1} \tan \sec ^{-1} \mathrm{x} এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপকে ∠BAC=α\angle \mathrm{BAC}=\alpha হলে, α+θ=π2\alpha+\theta=\frac{\pi}{2} থেকে দেখাও যে, x2+y2=1x^{2}+y^{2}=1

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপক অনুসারে x+y=2\mathrm{x}+\mathrm{y}=\sqrt{2} সমীকরণটি সমাধান কর; যখন −2π<θ<2π-2 \pi<\theta<2 \pi.

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত রাশি,
    sin⁡cot⁡−1tan⁡sec⁡−1x\sin \cot^{-1} \tan \sec^{-1} x

    ধরি, sec⁡−1x=θ1\sec^{-1} x = \theta_1
    বা, sec⁡θ1=x=x1\sec \theta_1 = x = \frac{x}{1}
    আমরা জানি, tan⁡θ1=sec⁡2θ1−1=x2−1\tan \theta_1 = \sqrt{\sec^2\theta_1 - 1} = \sqrt{x^2 - 1}
    বা, θ1=tan⁡−1x2−1\theta_1 = \tan^{-1} \sqrt{x^2 - 1}
    অতএব, tan⁡sec⁡−1x=x2−1\tan \sec^{-1} x = \sqrt{x^2 - 1}

    তাহলে প্রদত্ত রাশিটি দাঁড়ায়:
    sin⁡cot⁡−1(x2−1)\sin \cot^{-1} (\sqrt{x^2 - 1})

    আবার ধরি, cot⁡−1x2−1=θ2\cot^{-1} \sqrt{x^2 - 1} = \theta_2
    বা, cot⁡θ2=x2−11\cot \theta_2 = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{1}
    সমকোণী ত্রিভুজ হতে,
    ভূমি =x2−1= \sqrt{x^2 - 1}, লম্ব =1= 1
    অতিভুজ =(x2−1)2+12=x2−1+1=x= \sqrt{(\sqrt{x^2-1})^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 - 1 + 1} = x
    অতএব, sin⁡θ2=1x\sin \theta_2 = \frac{1}{x}
    বা, θ2=sin⁡−1(1x)\theta_2 = \sin^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)

    সুতরাং,
    sin⁡cot⁡−1(x2−1)=sin⁡(sin⁡−11x)=1x\sin \cot^{-1} (\sqrt{x^2 - 1}) = \sin \left(\sin^{-1} \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}

    নির্ণেয় মান: 1x\frac{1}{x}

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    চিত্রানুযায়ী,
    △ABC\triangle ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে ∠B=π2\angle B = \frac{\pi}{2} (বা 90∘90^\circ),
    BC=xBC = x, AB=yAB = y এবং অতিভুজ AC=1AC = 1।

    দেওয়া আছে, ∠BAC=α\angle BAC = \alpha এবং ∠BCA=θ\angle BCA = \theta।
    যেহেতু α+θ=π2\alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, সুতরাং α=π2−θ\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta।

    এখন, θ\theta কোণের সাপেক্ষে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত থেকে পাই,
    cos⁡θ=ভূমিঅতিভুজ=BCAC=x1=x\cos \theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{BC}{AC} = \frac{x}{1} = x
    এবং
    sin⁡θ=লম্বঅতিভুজ=ABAC=y1=y\sin \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{AB}{AC} = \frac{y}{1} = y

    অতএব,
    x2+y2=cos⁡2θ+sin⁡2θx^2 + y^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta
    আমরা জানি, cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1

    সুতরাং, x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের সমকোণী ত্রিভুজ △ABC\triangle ABC হতে পাই,
    x=cos⁡θx = \cos \theta
    y=sin⁡θy = \sin \theta

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    x+y=2x + y = \sqrt{2}
    ⇒cos⁡θ+sin⁡θ=2\Rightarrow \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2}

    উভয়পক্ষকে 12+12=2\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} দ্বারা ভাগ করে পাই,
    12cos⁡θ+12sin⁡θ=22\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
    ⇒cos⁡θcos⁡π4+sin⁡θsin⁡π4=1\Rightarrow \cos \theta \cos \frac{\pi}{4} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{4} = 1
    ⇒cos⁡(θ−π4)=1\Rightarrow \cos \left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = 1

    আমরা জানি, cos⁡A=1\cos A = 1 হলে, A=2nπA = 2n\pi, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}।
    ⇒θ−π4=2nπ\Rightarrow \theta - \frac{\pi}{4} = 2n\pi
    ⇒θ=2nπ+π4\Rightarrow \theta = 2n\pi + \frac{\pi}{4}

    দেওয়া আছে ব্যবধি: −2π<θ<2π-2\pi < \theta < 2\pi

    nn এর বিভিন্ন মানের জন্য:

    • n=0n = 0 হলে, θ=0+π4=π4\theta = 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}
    • n=1n = 1 হলে, θ=2π+π4=9π4>2π\theta = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} > 2\pi (গ্রহণযোগ্য নয়)
    • n=−1n = -1 হলে, θ=−2π+π4=−7π4\theta = -2\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}
      (যেহেতু −2π<−7π4<2π-2\pi < -\frac{7\pi}{4} < 2\pi, তাই এটি গ্রহণযোগ্য)
    • n=−2n = -2 হলে, θ=−4π+π4=−15π4<−2π\theta = -4\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4} < -2\pi (গ্রহণযোগ্য নয়)

    অতএব, প্রদত্ত ব্যবধিতে নির্ণেয় সমাধান:
    θ=−7π4,π4\theta = -\frac{7\pi}{4}, \frac{\pi}{4}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন