গণিত • ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratio) • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫

গণিত প্রশ্ন

△△ABC\triangle ABC -এ ∠A=1\angle A = 1 সমকোণ, sin⁡B=12\sin B = \frac{1}{2} এবং (cos⁡θ+5)cos⁡θ−sin⁡2θ=P(\cos \theta + 5) \cos \theta - \sin^2 \theta = P .

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, cot⁡A1−cos⁡2A=cos⁡A\cot A \sqrt{1 - \cos^2 A} = \cos A .

    (1)
  2. খ)

    উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, 12−sin⁡2C+12+tan⁡2C=1\frac{1}{2 - \sin^2 C} + \frac{1}{2 + \tan^2 C} = 1 .

    (2)
  3. গ)

    P=2 P = 2 হলে, সমীকরণটির সমাধান কর; যেখানে θ\theta সূক্ষ্মকোণ।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    cot⁡A1−cos⁡2A=cot⁡Asin⁡2A=cos⁡Asin⁡A⋅sin⁡A=cos⁡A\cot A\sqrt{1-\cos^2A}=\cot A\sqrt{\sin^2A}=\dfrac{\cos A}{\sin A}\cdot\sin A=\cos A (AA সূক্ষ্মকোণ বলে sin⁡A>0\sin A>0)। (প্রমাণিত)

  2. খ)

    12−sin⁡2C=11+cos⁡2C\dfrac1{2-\sin^2C}=\dfrac1{1+\cos^2C} (কারণ 2−sin⁡2C=1+cos⁡2C2-\sin^2C=1+\cos^2C)

    2+tan⁡2C=1+sec⁡2C=cos⁡2C+1cos⁡2C2+\tan^2C=1+\sec^2C=\dfrac{\cos^2C+1}{\cos^2C}, তাই 12+tan⁡2C=cos⁡2C1+cos⁡2C\dfrac1{2+\tan^2C}=\dfrac{\cos^2C}{1+\cos^2C}

    বামপক্ষ =1+cos⁡2C1+cos⁡2C=1==\dfrac{1+\cos^2C}{1+\cos^2C}=1= ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    P=2P=2 হলে, (cos⁡θ+5)cos⁡θ−sin⁡2θ=2(\cos\theta+5)\cos\theta-\sin^2\theta=2

    বা, cos⁡2θ+5cos⁡θ−(1−cos⁡2θ)=2\cos^2\theta+5\cos\theta-(1-\cos^2\theta)=2

    বা, 2cos⁡2θ+5cos⁡θ−3=02\cos^2\theta+5\cos\theta-3=0

    বা, (2cos⁡θ−1)(cos⁡θ+3)=0(2\cos\theta-1)(\cos\theta+3)=0

    cos⁡θ=−3\cos\theta=-3 সম্ভব নয়, তাই cos⁡θ=12=cos⁡60∘\cos\theta=\dfrac12=\cos60^\circ।

    সুতরাং, θ=60∘\theta=\mathbf{60^\circ}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন