উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সমীকরণ জোট;
t2x+u2y+v2z=5(t3−1)x+(u3−1)y+(v3−1)z=−5\begin{array}{l}t^{2} x+u^{2} y+v^{2} z=5 \\ \left(t^{3}-1\right) x+\left(u^{3}-1\right) y+\left(v^{3}-1\right) z=-5\end{array}

  1. ক)

    M=[29−3],N=[−356]M=\left[\begin{array}{r}2 \\ 9 \\ -3\end{array}\right], N=\left[\begin{array}{lll}-3 & 5 & 6\end{array}\right] হলে, [MN]T[M N]^{\mathrm{T}} নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    t=1,u=2,v=3\mathrm{t}=1, \mathrm{u}=2, \mathrm{v}=3 হলে ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোটের সমাধান কর।

    (4)
  3. গ)

    x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগগুলি দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক D\mathrm{D} হলে প্রমাণ কর, D=(tuv−1)(t−u)(u−v)(v−t)D=(t u v-1)(t-u)(u-v)(v-t)

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    M=[29−3]M = \begin{bmatrix} 2 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix}, N=[−356]N = \begin{bmatrix} -3 & 5 & 6 \end{bmatrix}

    MN=[29−3][−356]=[2(−3)2(5)2(6)9(−3)9(5)9(6)−3(−3)−3(5)−3(6)]=[−61012−2745549−15−18]MN = \begin{bmatrix} 2 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-3) & 2(5) & 2(6) \\ 9(-3) & 9(5) & 9(6) \\ -3(-3) & -3(5) & -3(6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 10 & 12 \\ -27 & 45 & 54 \\ 9 & -15 & -18 \end{bmatrix}

    অতএব, [MN]T=[−6−2791045−151254−18][MN]^T = \begin{bmatrix} -6 & -27 & 9 \\ 10 & 45 & -15 \\ 12 & 54 & -18 \end{bmatrix}

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণজোট:
    tx+uy+vz=5tx + uy + vz = 5
    t2x+u2y+v2z=5t^2 x + u^2 y + v^2 z = 5
    (t3−1)x+(u3−1)y+(v3−1)z=−5(t^3 - 1)x + (u^3 - 1)y + (v^3 - 1)z = -5

    t=1,u=2,v=3t = 1, u = 2, v = 3 বসিয়ে পাই:
    1x+2y+3z=51x + 2y + 3z = 5
    12x+22y+32z=5⇒x+4y+9z=51^2 x + 2^2 y + 3^2 z = 5 \Rightarrow x + 4y + 9z = 5
    (13−1)x+(23−1)y+(33−1)z=−5⇒0x+7y+26z=−5(1^3 - 1)x + (2^3 - 1)y + (3^3 - 1)z = -5 \Rightarrow 0x + 7y + 26z = -5

    ক্রেমারের নিয়মে:
    D=∣1231490726∣D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \\ 0 & 7 & 26 \end{vmatrix}
    প্রথম কলাম বরাবর বিস্তার করে:
    D=1⋅(4×26−9×7)−1⋅(2×26−3×7)+0D = 1 \cdot (4 \times 26 - 9 \times 7) - 1 \cdot (2 \times 26 - 3 \times 7) + 0
    =1⋅(104−63)−1⋅(52−21)=41−31=10= 1 \cdot (104 - 63) - 1 \cdot (52 - 21) = 41 - 31 = 10

    Dx=∣523549−5726∣=5∣123149−1726∣D_x = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 9 \\ -5 & 7 & 26 \end{vmatrix} = 5 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \\ -1 & 7 & 26 \end{vmatrix}
    প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করে:
    Dx=5[1(104−63)−2(26−(−9))+3(7−(−4))]D_x = 5 [ 1(104 - 63) - 2(26 - (-9)) + 3(7 - (-4)) ]
    =5[41−2(35)+3(11)]=5[41−70+33]=5[4]=20= 5 [ 41 - 2(35) + 3(11) ] = 5 [ 41 - 70 + 33 ] = 5 [ 4 ] = 20

    Dy=∣1531590−526∣D_y = \begin{vmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & 5 & 9 \\ 0 & -5 & 26 \end{vmatrix}
    প্রথম কলাম বরাবর বিস্তার করে:
    Dy=1(5×26−9×(−5))−1(5×26−3×(−5))+0D_y = 1(5 \times 26 - 9 \times (-5)) - 1(5 \times 26 - 3 \times (-5)) + 0
    =(130+45)−(130+15)=175−145=30= (130 + 45) - (130 + 15) = 175 - 145 = 30

    Dz=∣12514507−5∣D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 5 \\ 0 & 7 & -5 \end{vmatrix}
    প্রথম কলাম বরাবর বিস্তার করে:
    Dz=1(−20−35)−1(−10−35)+0D_z = 1(-20 - 35) - 1(-10 - 35) + 0
    =−55−(−45)=−55+45=−10= -55 - (-45) = -55 + 45 = -10

    অতএব, নির্ণেয় সমাধান:
    x=DxD=2010=2x = \frac{D_x}{D} = \frac{20}{10} = 2
    y=DyD=3010=3y = \frac{D_y}{D} = \frac{30}{10} = 3
    z=DzD=−1010=−1z = \frac{D_z}{D} = \frac{-10}{10} = -1

    নির্ণেয় সমাধান: (x,y,z)=(2,3,−1)(x, y, z) = (2, 3, -1)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    সমীকরণজোট হতে x,y,zx, y, z এর সহগগুলি দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক:
    D=∣tuvt2u2v2t3−1u3−1v3−1∣D = \begin{vmatrix} t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \\ t^3 - 1 & u^3 - 1 & v^3 - 1 \end{vmatrix}

    নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী এটিকে দুটি নির্ণায়কের যোগফল রূপে লেখা যায়:
    D=∣tuvt2u2v2t3u3v3∣+∣tuvt2u2v2−1−1−1∣D = \begin{vmatrix} t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \\ t^3 & u^3 & v^3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix}

    প্রথম নির্ণায়ক থেকে প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় কলাম থেকে যথাক্রমে t,u,vt, u, v কমন নিয়ে পাই:
    D1=tuv∣111tuvt2u2v2∣D_1 = tuv \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \end{vmatrix}

    দ্বিতীয় নির্ণায়কের তৃতীয় সারি থেকে −1-1 কমন নিয়ে সারি স্থান পরিবর্তন করে পাই:
    D2=−∣tuvt2u2v2111∣D_2 = - \begin{vmatrix} t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}
    R1↔R3R_1 \leftrightarrow R_3 এবং তারপর R2↔R3R_2 \leftrightarrow R_3 করে (দুটি স্থান বিনিময়ে চিহ্নের পরিবর্তন হয় না):
    D2=−∣111tuvt2u2v2∣D_2 = - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \end{vmatrix}

    অতএব,
    D=D1+D2=(tuv−1)∣111tuvt2u2v2∣D = D_1 + D_2 = (tuv - 1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \end{vmatrix}

    এখন, C1′=C1−C2C_1' = C_1 - C_2 এবং C2′=C2−C3C_2' = C_2 - C_3 প্রয়োগ করে পাই:
    ∣111tuvt2u2v2∣=∣001t−uu−vvt2−u2u2−v2v2∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ t - u & u - v & v \\ t^2 - u^2 & u^2 - v^2 & v^2 \end{vmatrix}
    প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করে:
    =1⋅[(t−u)(u2−v2)−(u−v)(t2−u2)]= 1 \cdot [(t - u)(u^2 - v^2) - (u - v)(t^2 - u^2)]
    =(t−u)(u−v)[(u+v)−(t+u)]= (t - u)(u - v) [(u + v) - (t + u)]
    =(t−u)(u−v)(v−t)= (t - u)(u - v)(v - t)

    সুতরাং,
    D=(tuv−1)(t−u)(u−v)(v−t)D = (tuv - 1)(t - u)(u - v)(v - t)
    (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন