$\cos ^{3} x-\frac{1}{2} \sin 2 x=1+\sin ^{3} x$ এর সাধারণ সমাধান কত?

Question

Accepted Answer

খ. $2 n \pi,(4 n-1) \frac{\pi}{2}$

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণ:
$\cos^3 x - \frac{1}{2}\sin 2x = 1 + \sin^3 x$
$\Rightarrow \cos^3 x - \sin^3 x - \sin x \cos x - 1 = 0$

আমরা জানি, $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = (a - b)(1 + ab)$ [যেহেতু $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$]
অতএব,
$(\cos x - \sin x)(1 + \sin x \cos x) - (1 + \sin x \cos x) = 0$
$\Rightarrow (1 + \sin x \cos x)(\cos x - \sin x - 1) = 0$

এখানে,
১) $1 + \sin x \cos x = 0 \Rightarrow \sin 2x = -2$, যা বাস্তব মানের জন্য অসম্ভব (কারণ $-1 \le \sin 2x \le 1$)।
২) $\cos x - \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x - \sin x = 1$
উভয়পক্ষকে $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}$
$\Rightarrow x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে: $x = 2n\pi$
ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে: $x = 2n\pi - \frac{\pi}{2} = (4n - 1)\frac{\pi}{2}$

সুতরাং সাধারণ সমাধান: $x = 2n\pi, (4n - 1)\frac{\pi}{2}$।

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন