উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রমাণ:
   আমরা জানি, $2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ এবং $2\sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$

   $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

   এখন,
   $2\cos^2\frac{\pi}{8} = 1 + \cos\frac{\pi}{4} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$
   বা, $4\cos^2\frac{\pi}{8} = 2 + \sqrt{2}$
   বা, $2\cos\frac{\pi}{8} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ [যেহেতু $\frac{\pi}{8}$ প্রথম চতুর্ভাগে ধনাত্মক]

   আবার,
   $2\sin^2\frac{\pi}{16} = 1 - \cos\frac{\pi}{8}$
   বা, $4\sin^2\frac{\pi}{16} = 2 - 2\cos\frac{\pi}{8} = 2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}$
   বা, $\sin^2\frac{\pi}{16} = \frac{1}{4}\left(2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}\right)$

   উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই,
   $\sin\frac{\pi}{16} = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ (প্রমাণিত)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $\angle B = 60^\circ$

   সাইন সূত্র অনুসারে আমরা জানি,
   $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
   সুতরাং, $a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$, $c = 2R\sin C$

   ডানপক্ষ:
   $= \frac{c + a}{b}$
   $= \frac{2R\sin C + 2R\sin A}{2R\sin B}$
   $= \frac{\sin C + \sin A}{\sin B}$
   $= \frac{2\sin\left(\frac{C+A}{2}\right)\cos\left(\frac{C-A}{2}\right)}{\sin B}$

   যেকোনো ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এ, $A + B + C = 180^\circ$
   $\implies \frac{C+A}{2} = 90^\circ - \frac{B}{2}$
   $\therefore \sin\left(\frac{C+A}{2}\right) = \cos\left(\frac{B}{2}\right)$

   মান বসিয়ে পাই,
   $= \frac{2\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{C-A}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{B}{2}\right)}$
   $= \frac{\cos\left(\frac{C-A}{2}\right)}{\sin\left(\frac{B}{2}\right)}$

   যেহেতু $\angle B = 60^\circ$, তাই $\frac{B}{2} = 30^\circ$
   $= \frac{\cos\left(\frac{C-A}{2}\right)}{\sin 30^\circ}$
   $= \frac{\cos\left(\frac{C-A}{2}\right)}{\frac{1}{2}}$
   $= 2\cos\left(\frac{C-A}{2}\right)$ = বামপক্ষ

   অতএব, $2\cos\left(\frac{C-A}{2}\right) = \frac{c+a}{b}$ (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রাশি:
   $E = \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C - 2\cos A\cos B\cos C$

   আমরা জানি, $A + B + C = \pi$

   এখন প্রথম দুটি পদ বিবেচনা করি,
   $\sin^2 A + \sin^2 B = \frac{1}{2}(2\sin^2 A + 2\sin^2 B)$
   $= \frac{1}{2}[(1 - \cos 2A) + (1 - \cos 2B)]$
   $= \frac{1}{2}[2 - (\cos 2A + \cos 2B)]$
   $= 1 - \frac{1}{2} \cdot 2\cos(A+B)\cos(A-B)$
   $= 1 - \cos(\pi - C)\cos(A-B)$
   $= 1 + \cos C\cos(A-B)$

   এখন প্রদত্ত রাশিতে বসাই,
   $E = 1 + \cos C\cos(A-B) + \sin^2 C - 2\cos A\cos B\cos C$
   $= 1 + (1 - \cos^2 C) + \cos C\cos(A-B) - 2\cos A\cos B\cos C$
   $= 2 - \cos^2 C + \cos C[\cos(A-B) - 2\cos A\cos B]$

   আমরা জানি,
   $\cos(A-B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B$
   অতএব,
   $\cos(A-B) - 2\cos A\cos B = \sin A\sin B - \cos A\cos B = -(\cos A\cos B - \sin A\sin B) = -\cos(A+B)$

   সুতরাং,
   $E = 2 - \cos^2 C + \cos C[-\cos(A+B)]$
   যেহেতু $\cos(A+B) = \cos(\pi - C) = -\cos C$,
   $E = 2 - \cos^2 C + \cos C[-(-\cos C)]$
   $= 2 - \cos^2 C + \cos^2 C$
   $= 2$

   অতএব, নির্ণেয় মান $2$।