উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বলদ্বয় P = 5 N এবং Q = 12 N।
   এদের মধ্যবর্তী কোণ α = 45°।
   বলদ্বয়ের লব্ধি R হলে,
   R = √(P² + Q² + 2PQ cos α)
   = √(5² + 12² + 2 · 5 · 12 · cos 45°)
   = √(25 + 144 + 120 · (1/√2))
   = √(169 + 60√2)
   = √(169 + 84.853)
   ≈ √253.853 ≈ 15.93 N (প্রায়)।
   অতএব, লব্ধির মান প্রায় 15.93 N বা √(169 + 60√2) N।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, P ও Q বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α এবং লব্ধি R।
   প্রথম ক্ষেত্রে, লব্ধি P বলের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে।
   আমরা জানি, tan 60° = (Q sin α) / (P + Q cos α)
   ⇒ √3 = (Q sin α) / (P + Q cos α)
   ⇒ P + Q cos α = (Q sin α) / √3 ...... (1)

   দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, P বলকে দ্বিগুণ (2P) করা হলে কোণটি অর্ধেক হয়, অর্থাৎ 60°/2 = 30° হয়।
   tan 30° = (Q sin α) / (2P + Q cos α)
   ⇒ 1/√3 = (Q sin α) / (2P + Q cos α)
   ⇒ 2P + Q cos α = √3 Q sin α ...... (2)

   সমীকরণ (2) থেকে সমীকরণ (1) বিয়োগ করে পাই:
   P = √3 Q sin α - (Q sin α) / √3
   ⇒ P = (2/√3) Q sin α ...... (3)

   এখন সমীকরণ (1)-এ P এর মান বসিয়ে পাই:
   (2/√3) Q sin α + Q cos α = (1/√3) Q sin α
   ⇒ Q cos α = (1/√3 - 2/√3) Q sin α
   ⇒ Q cos α = - (1/√3) Q sin α
   উভয়পক্ষকে Q sin α দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু Q ≠ 0, sin α ≠ 0):
   cot α = -1/√3
   ⇒ cot α = cot(180° - 60°) = cot 120°
   ⇒ α = 120°

   অতএব, P এবং Q বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 120°।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কোনো একটি বিন্দু $O$-তে $\Delta ABC$ এর $BC$, $CA$ এবং $AB$ বাহুর সমান্তরাল ও একই ক্রমে তিনটি সমমানের বল $M$ ক্রিয়াশীল।
   $BC$ বাহুর সমান্তরাল দিককে $X$-অক্ষ বরাবর ধরি।
   তাহলে বল তিনটির দিক হবে:
   ১) প্রথম বল $M$ এর দিক: $X$-অক্ষ বরাবর, অর্থাৎ কোণ $\theta_1 = 0^\circ$
   ২) দ্বিতীয় বল $M$ এর দিক: $CA$ বাহুর সমান্তরাল, যা প্রথম বলের সাথে কোণ উৎপন্ন করে $\theta_2 = 180^\circ - C$
   ৩) তৃতীয় বল $M$ এর দিক: $AB$ বাহুর সমান্তরাল, যা প্রথম বলের বিপরীত দিকের সাথে কোণ উৎপন্ন করে, ফলে $X$-অক্ষের সাথে কোণ $\theta_3 = 180^\circ + B$

   লব্ধি $R$ হলে, $X$-অক্ষ ও $Y$-অক্ষ বরাবর উপাংশ নিয়ে পাই:
   $R_x = M\cos 0^\circ + M\cos(180^\circ - C) + M\cos(180^\circ + B)$
   $= M[1 - \cos C - \cos B]$

   $R_y = M\sin 0^\circ + M\sin(180^\circ - C) + M\sin(180^\circ + B)$
   $= M[0 + \sin C - \sin B]$
   $= M[\sin C - \sin B]$

   লব্ধি $R^2 = R_x^2 + R_y^2$
   $= M^2[(1 - \cos C - \cos B)^2 + (\sin C - \sin B)^2]$
   $= M^2[1 + \cos^2 C + \cos^2 B - 2\cos C - 2\cos B + 2\cos B\cos C + \sin^2 C + \sin^2 B - 2\sin B\sin C]$
   $= M^2[1 + (\cos^2 C + \sin^2 C) + (\cos^2 B + \sin^2 B) - 2\cos B - 2\cos C + 2(\cos B\cos C - \sin B\sin C)]$
   $= M^2[1 + 1 + 1 - 2\cos B - 2\cos C + 2\cos(B + C)]$

   যেহেতু ত্রিভুজ $ABC$-তে $A + B + C = 180^\circ$, তাই $B + C = 180^\circ - A$
   অতএব, $\cos(B + C) = \cos(180^\circ - A) = -\cos A$

   মান বসিয়ে পাই:
   $R^2 = M^2[3 - 2\cos B - 2\cos C + 2(-\cos A)]$
   $= M^2[3 - 2\cos A - 2\cos B - 2\cos C]$

   $\therefore R = M\sqrt{3 - 2\cos A - 2\cos B - 2\cos C}$ (প্রমাণিত)।