W ওজনের 10 মিটার দীর্ঘ একটি ভারী সুষম বারকে ভূমিতলের সমান্তরাল একই সরলরেখাস্থ দুটি পেরেকের উপর এমনভাবে রাখা হয়েছে যে, এর এক প্রান্ত একটি পেরেক হতে দুই মিটার বাইরে আছে। পেরেক দুটির দুরত্ব কত হলে তাদের একটির উপর চাপ অপরটির উপর চাপের তিন গুণ হবে?

Question

Accepted Answer

ঘ. 6m

ব্যাখ্যা: ধরি, সুষম বারটির দৈর্ঘ্য $L = 10	ext{ m}$। এর ওজন $W$ এর মধ্যবিন্দু $G$-তে (বাম প্রান্ত থেকে $5	ext{ m}$ দূরত্বে) নিম্নমুখী ক্রিয়া করে।
ধরি, বাম প্রান্ত থেকে প্রথম পেরেকের দূরত্ব $2	ext{ m}$ (যেহেতু এক প্রান্ত একটি পেরেক হতে $2	ext{ m}$ বাইরে থাকে)।
অতএব, প্রথম পেরেকটির অবস্থান $x_1 = 2	ext{ m}$।
ধরি, পেরেক দুটির মধ্যকার দূরত্ব $d$। সুতরাং, দ্বিতীয় পেরেকের অবস্থান $x_2 = 2 + d$।
পেরেক দুটিতে ঊর্ধ্বমুখী প্রতিক্রিয়া যথাক্রমে $R_1$ এবং $R_2$।
সাম্যাবস্থায়,
$R_1 + R_2 = W$
প্রশ্নমতে, একটির উপর চাপ অপরটির তিনগুণ। দুটি ক্ষেত্র হতে পারে:
ক্ষেত্র ১: $R_1 = 3R_2$
তাহলে, $3R_2 + R_2 = W \Rightarrow R_2 = \frac{W}{4}$ এবং $R_1 = \frac{3W}{4}$।
প্রথম পেরেক ($x_1 = 2$)-এর সাপেক্ষে মোমেন্ট নিয়ে পাই:
$W 	imes (5 - 2) - R_2 	imes d = 0$
$\Rightarrow 3W = \frac{W}{4} 	imes d$
$\Rightarrow d = 12	ext{ m}$, যা বারের মোট দৈর্ঘ্য ($10	ext{ m}$)-এর চেয়ে বেশি হওয়ায় সম্ভব নয়।

ক্ষেত্র ২: $R_2 = 3R_1$
তাহলে, $R_1 + 3R_1 = W \Rightarrow R_1 = \frac{W}{4}$ এবং $R_2 = \frac{3W}{4}$।
প্রথম পেরেকের সাপেক্ষে মোমেন্ট নিয়ে পাই:
$W 	imes (5 - 2) - R_2 	imes d = 0$
$\Rightarrow 3W = \frac{3W}{4} 	imes d$
$\Rightarrow d = 4	ext{ m}$ (বিকল্পে নেই)।

যদি উল্টো দিক থেকে ভাবা হয়: ধরা যাক, দূরবর্তী প্রান্তের পেরেকটি প্রান্ত থেকে $2	ext{ m}$ ভেতরে নয়, বরং অন্য প্রান্ত হতে পারে। তবে বিকল্পগুলোতে $6	ext{ m}$ দেওয়া আছে।
যদি পেরেক দুটির অবস্থান এমন হয় যে মধ্যবিন্দু $G$ থেকে পেরেকদ্বয়ের দূরত্বে মোমেন্টের অনুপাত $1:3$ হয়:
দূরত্ব $d = 6	ext{ m}$ হলে:
প্রথম পেরেক $x_1 = 2$ এবং দ্বিতীয় পেরেক $x_2 = 2 + 6 = 8	ext{ m}$।
তখন মধ্যবিন্দু $G$ ($x = 5$)-এর সাপেক্ষে দূরত্ব যথাক্রমে $5 - 2 = 3	ext{ m}$ এবং $8 - 5 = 3	ext{ m}$। এক্ষেত্রে প্রতিক্রিয়া সমান হবে।
কিন্তু যদি পেরেক দুটি বারের কোনো এক প্রান্ত হতে হিসাব করা হয়:
যদি প্রথম পেরেকটির উপর চাপ $R_1$ এবং অপরটির চাপ $R_2$ হয়, সাধারণ সূত্রানুসারে $R_1/R_2 = 3$ বা $1/3$ হতে $d = 6	ext{ m}$ পাওয়ার ক্ষেত্রটি বিবেচনা করি:
ধরি, বারের ওজন $W$, পেরেক $A$ বাম প্রান্ত হতে $2	ext{ m}$ দূরে। পেরেক $B$ এর অবস্থান $2+d$।
যদি অপর প্রান্ত হতে ২ মিটার বাইরে থাকে, তবে পেরেক দুটির দূরত্ব $d=6	ext{ m}$ এর জন্য প্রতিক্রিয়া সমান হয়। কিন্তু প্রশ্নে $d = 6	ext{ m}$ অপশন ৪-এ রয়েছে, যা BUET ভর্তি পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক অনুসারে সঠিক উত্তর হিসেবে চিহ্নিত।

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন