উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

A=cos⁡θ,B=sin⁡θ,C=cos⁡2θ,D=sin⁡2θA=\cos \theta, B=\sin \theta, C=\cos 2 \theta, D=\sin 2 \theta

  1. ক)

    মান নির্ণয় কর: tan⁡−1sin⁡cos⁡−123\tan ^{-1} \sin \cos ^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}

    (2)
  2. খ)

    A+3 B=2\mathrm{A}+\sqrt{3} \mathrm{~B}=\sqrt{2} হলে সমীকরণটি সমাধান কর।

    (4)
  3. গ)

    A+B=C+D\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{C}+\mathrm{D} হলে, সমীকরণটির [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] ব্যবধিতে সমাধান আছে কিনা যাচাই কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, cos⁡−123=α\cos^{-1}\sqrt{\frac{2}{3}} = \alpha
    ∴cos⁡α=23=ভূমিঅতিভুজ\therefore \cos\alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}
    তাহলে, লম্ব =(3)2−(2)2=3−2=1= \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3-2} = 1
    ∴sin⁡α=13\therefore \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}

    প্রদত্ত রাশি:
    tan⁡−1(sin⁡cos⁡−123)=tan⁡−1(sin⁡α)=tan⁡−1(13)=π6\tan^{-1}\left(\sin\cos^{-1}\sqrt{\frac{2}{3}}\right) = \tan^{-1}(\sin\alpha) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A=cos⁡θA = \cos\theta, B=sin⁡θB = \sin\theta
    প্রদত্ত সমীকরণ: A+3B=2A + \sqrt{3}B = \sqrt{2}
    ⇒cos⁡θ+3sin⁡θ=2\Rightarrow \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta = \sqrt{2}

    উভয়পক্ষকে 12+(3)2=2\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
    12cos⁡θ+32sin⁡θ=22\frac{1}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}
    ⇒cos⁡θcos⁡π3+sin⁡θsin⁡π3=12\Rightarrow \cos\theta\cos\frac{\pi}{3} + \sin\theta\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}
    ⇒cos⁡(θ−π3)=cos⁡π4\Rightarrow \cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{4}
    ⇒θ−π3=2nπ±π4\Rightarrow \theta - \frac{\pi}{3} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} [যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}]
    ⇒θ=2nπ+π3±π4\Rightarrow \theta = 2n\pi + \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{4}

    ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে:
    θ=2nπ+π3+π4=2nπ+7π12\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{7\pi}{12}

    ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে:
    θ=2nπ+π3−π4=2nπ+π12\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{12}

    ∴θ=2nπ+7π12\therefore \theta = 2n\pi + \frac{7\pi}{12} অথবা θ=2nπ+π12\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{12}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A+B=C+DA + B = C + D
    ⇒cos⁡θ+sin⁡θ=cos⁡2θ+sin⁡2θ\Rightarrow \cos\theta + \sin\theta = \cos 2\theta + \sin 2\theta
    ⇒cos⁡θ−cos⁡2θ=sin⁡2θ−sin⁡θ\Rightarrow \cos\theta - \cos 2\theta = \sin 2\theta - \sin\theta
    ⇒2sin⁡3θ2sin⁡θ2=2cos⁡3θ2sin⁡θ2\Rightarrow 2\sin\frac{3\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2} = 2\cos\frac{3\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}
    ⇒2sin⁡θ2(sin⁡3θ2−cos⁡3θ2)=0\Rightarrow 2\sin\frac{\theta}{2}\left(\sin\frac{3\theta}{2} - \cos\frac{3\theta}{2}\right) = 0

    হয় sin⁡θ2=0\sin\frac{\theta}{2} = 0
    ⇒θ2=nπ⇒θ=2nπ\Rightarrow \frac{\theta}{2} = n\pi \Rightarrow \theta = 2n\pi
    [0,π2][0, \frac{\pi}{2}] ব্যবধিতে n=0n=0 হলে θ=0\theta = 0।

    অথবা, sin⁡3θ2−cos⁡3θ2=0\sin\frac{3\theta}{2} - \cos\frac{3\theta}{2} = 0
    ⇒tan⁡3θ2=1=tan⁡π4\Rightarrow \tan\frac{3\theta}{2} = 1 = \tan\frac{\pi}{4}
    ⇒3θ2=nπ+π4\Rightarrow \frac{3\theta}{2} = n\pi + \frac{\pi}{4}
    ⇒θ=2nπ3+π6\Rightarrow \theta = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{6}
    [0,π2][0, \frac{\pi}{2}] ব্যবধিতে n=0n=0 হলে θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}।

    সুতরাং, [0,π2][0, \frac{\pi}{2}] ব্যবধিতে সমাধান বিদ্যমান এবং তা হলো θ=0,π6\theta = 0, \frac{\pi}{6}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন