উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $\int \sin^{-1} x \, dx$
   $= \sin^{-1} x \int 1 \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) \int 1 \, dx \right) dx$
   $= x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$
   $= x \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \int \frac{-2x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$
   $= x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + c$ (যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = \cos x$
   অতএব, $g(\ln x) = \cos(\ln x)$
   প্রদত্ত সমাকলন,
   $I = \int_1^5 \frac{1}{x} \sqrt{1 - \cos^2(\ln x)} \, dx = \int_1^5 \frac{1}{x} \sin(\ln x) \, dx$ [যেহেতু $x \in [1, 5]$ হলে $0 \le \ln x \le \ln 5 < \pi$, তাই $\sin(\ln x) \ge 0$]

   ধরি, $z = \ln x \implies dz = \frac{1}{x} dx$
   সীমা: $x = 1 \implies z = 0$ এবং $x = 5 \implies z = \ln 5$

   $\therefore I = \int_0^{\ln 5} \sin z \, dz = [-\cos z]_0^{\ln 5} = -\cos(\ln 5) - (-\cos 0) = 1 - \cos(\ln 5)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x, y) = 0 \implies 9x^2 + 4y^2 - 36 = 0$
   $\implies \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$
   $\implies \frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$
   এটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে যার অর্ধ-অক্ষদ্বয় $a = 2$ এবং $b = 3$।

   আমরা জানি, উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= \pi a b$
   $\therefore$ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $= \pi \times 2 \times 3 = 6\pi$ বর্গ একক।