উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $|2x - 1| < \frac{1}{3}$
   $\Rightarrow -\frac{1}{3} < 2x - 1 < \frac{1}{3}$
   সব পক্ষে 1 যোগ করে,
   $1 - \frac{1}{3} < 2x < 1 + \frac{1}{3}$
   $\Rightarrow \frac{2}{3} < 2x < \frac{4}{3}$
   উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে,
   $\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$

   নির্ণেয় সমাধান সেট: $S = \left\{x \in \mathbb{R} : \frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}\right\} = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$

   সংখ্যারেখায় উপস্থাপন:
   সংখ্যারেখায় $\frac{1}{3}$ ও $\frac{2}{3}$ বিন্দু দুটিতে ফাঁপা বৃত্ত (open circle) এঁকে তাদের মধ্যবর্তী অংশটিকে গাঢ় চিহ্নিত করতে হবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে $f(x) = ax + by + c$।
   $a = 1, b = 0, c = 0$ হলে, $f(x) = 1\cdot x + 0\cdot y + 0 = x$।
   দেওয়া আছে, $|f(x) - 1| < \frac{1}{11} \Rightarrow |x - 1| < \frac{1}{11}$।
   $\Rightarrow -\frac{1}{11} < x - 1 < \frac{1}{11}$
   সব পক্ষে 2 যোগ করে পাই,
   $2 - \frac{1}{11} < x + 1 < 2 + \frac{1}{11}$
   $\Rightarrow \frac{21}{11} < x + 1 < \frac{23}{11}$
   অতএব, $|x + 1| < \frac{23}{11}$

   এখন,
   $|\{f(x)\}^2 - 1| = |x^2 - 1| = |(x - 1)(x + 1)| = |x - 1| \cdot |x + 1|$
   $< \frac{1}{11} \cdot \frac{23}{11} = \frac{23}{121}$

   $\therefore |\{f(x)\}^2 - 1| < \frac{23}{121}$ [প্রমাণিত]

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে:
   $f(x) = ax + by + c$, যেখানে $a = 1, b = -1, c = 2$
   $\therefore f(x) = x - y + 2$
   শর্তানুসারে, $f(x) \ge 0 \Rightarrow x - y + 2 \ge 0 \Rightarrow x - y \ge -2$

   $g(x) = lx + my + n$, যেখানে $l = 1, m = 1, n = -4$
   $\therefore g(x) = x + y - 4$
   শর্তানুসারে, $g(x) \le 0 \Rightarrow x + y - 4 \le 0 \Rightarrow x + y \le 4$

   এবং অবিনির্দেশক শর্তাবলী: $x \ge 0, y \ge 0$
   এখন সীমা নির্ধারণকারী সমীকরণসমূহ:
   (1) $x - y = -2 \Rightarrow \frac{x}{-2} + \frac{y}{2} = 1$
   (2) $x + y = 4 \Rightarrow \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1$
   (3) $x = 0$ (y-অক্ষ)
   (4) $y = 0$ (x-অক্ষ)

   সমীকরণ (1) ও (2) সমাধান করে পাই:
   যোগ করে, $2x = 2 \Rightarrow x = 1$
   অতএব, $y = 3$
   সুতরাং এদের ছেদবিন্দু $B(1, 3)$।

   প্রদত্ত শর্তসমূহ মেনে সমাধান এলাকাটি বহুভুজাকার অঞ্চল গঠন করে, যার শীর্ষবিন্দুগুলো হলো:
   $O(0, 0)$
   $A(4, 0)$ [সমীকরণ (2) এবং $y=0$ এর ছেদবিন্দু]
   $B(1, 3)$ [সমীকরণ (1) ও (2) এর ছেদবিন্দু]
   $C(0, 2)$ [সমীকরণ (1) এবং $x=0$ এর ছেদবিন্দু]

   এখন অভীষ্ট অপেক্ষক $z = x + 2y$-এর মান শীর্ষবিন্দুগুলোতে নির্ণয় করি:
   $O(0, 0)$ বিন্দুতে: $z = 0 + 2(0) = 0$
   $A(4, 0)$ বিন্দুতে: $z = 4 + 2(0) = 4$
   $B(1, 3)$ বিন্দুতে: $z = 1 + 2(3) = 1 + 6 = 7$
   $C(0, 2)$ বিন্দুতে: $z = 0 + 2(2) = 4$

   তুলনা করে দেখা যাচ্ছে, $B(1, 3)$ বিন্দুতে $z$-এর মান সর্বোচ্চ।
   অতএব, $z$-এর সর্বোচ্চ মান = 7।