উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে যদি এর নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
   $\therefore \begin{vmatrix} -a & 6 \\ 2 & -a + 1 \end{vmatrix} = 0$
   $\Rightarrow -a(-a + 1) - (6 \times 2) = 0$
   $\Rightarrow a^2 - a - 12 = 0$
   $\Rightarrow a^2 - 4a + 3a - 12 = 0$
   $\Rightarrow a(a - 4) + 3(a - 4) = 0$
   $\Rightarrow (a - 4)(a + 3) = 0$
   $\therefore a = 4$ অথবা $a = -3$

   অতএব, $a$ এর নির্ণেয় মান $4$ অথবা $-3$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $|A| = \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3 & q^3 & r^3 \end{vmatrix}$

   ১ম, ২য় ও ৩য় কলাম থেকে যথাক্রমে $p, q, r$ সাধারণ নিয়ে পাই,
   $|A| = pqr \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix}$

   কলাম রূপান্তর $C_1' = C_1 - C_2$ এবং $C_2' = C_2 - C_3$ প্রয়োগ করে পাই,
   $|A| = pqr \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ p - q & q - r & r \\ p^2 - q^2 & q^2 - r^2 & r^2 \end{vmatrix}$

   ১ম কলাম থেকে $(p - q)$ এবং ২য় কলাম থেকে $(q - r)$ সাধারণ নিয়ে পাই,
   $|A| = pqr (p - q)(q - r) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & r \\ p + q & q + r & r^2 \end{vmatrix}$

   ১ম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই,
   $|A| = pqr (p - q)(q - r) [1 \cdot ((q + r) - (p + q))]$
   $= pqr (p - q)(q - r)(q + r - p - q)$
   $= pqr (p - q)(q - r)(r - p)$

   $\therefore |A| = pqr(p - q)(q - r)(r - p)$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $BX = C$
   $\Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 4 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \\ 6 \end{bmatrix}$
   সমীকরণ জোটটি হলো:
   $2x + 2y - z = 5$
   $4x + 2y - 3z = 1$
   $x + 4y + 2z = 6$

   ক্রেমারের নিয়ম অনুসারে:
   $D = \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 4 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix}$
   $= 2(4 - (-12)) - 2(8 - (-3)) - 1(16 - 2)$
   $= 2(16) - 2(11) - 1(14) = 32 - 22 - 14 = -4 \neq 0$

   $D_x = \begin{vmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 6 & 4 & 2 \end{vmatrix}$
   $= 5(4 + 12) - 2(2 + 18) - 1(4 - 12)$
   $= 5(16) - 2(20) - 1(-8) = 80 - 40 + 8 = 48$

   $D_y = \begin{vmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & 6 & 2 \end{vmatrix}$
   $= 2(2 + 18) - 5(8 + 3) - 1(24 - 1)$
   $= 2(20) - 5(11) - 1(23) = 40 - 55 - 23 = -38$

   $D_z = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 5 \\ 4 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 6 \end{vmatrix}$
   $= 2(12 - 4) - 2(24 - 1) + 5(16 - 2)$
   $= 2(8) - 2(23) + 5(14) = 16 - 46 + 70 = 40$

   অতএব,
   $x = \frac{D_x}{D} = \frac{48}{-4} = -12$
   $y = \frac{D_y}{D} = \frac{-38}{-4} = \frac{19}{2}$
   $z = \frac{D_z}{D} = \frac{40}{-4} = -10$

   নির্ণেয় সমাধান: $(x, y, z) = \left(-12, \frac{19}{2}, -10\right)$