উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: HSC Higher Mathematics Creative Questions consist of three sub-parts (ka: 2 marks, kha: 4 marks, ga: 4 marks); the fourth part 'gha' is non-existent in the actual board question. | Repetitive text in stimulus and sub-questions is treated as typographic rendering duplication.

   কোনো দ্বিঘাত সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0 (a \ne 0)-$এর মূলের প্রকৃতি যে রাশির ওপর নির্ভর করে, তাকে পৃথায়ক (Discriminant) বলে। পৃথায়ক $D = b^2 - 4ac$।
   উদাহরণ: $2x^2 - 5x + 3 = 0$ সমীকরণের পৃথায়ক $D = (-5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1$।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: HSC Higher Mathematics Creative Questions consist of three sub-parts (ka: 2 marks, kha: 4 marks, ga: 4 marks); the fourth part 'gha' is non-existent in the actual board question. | Repetitive text in stimulus and sub-questions is treated as typographic rendering duplication.

   দেওয়া আছে, $f(x) = x^4 - 13x^3 + 61x^2 - 107x + 58 = 0$ সমীকরণের একটি মূল $5 + 2i$।
   যেহেতু বাস্তব সহগবিশিষ্ট বহুপদীর জটিল মূলগুলো অনুবন্ধী যুগলে আসে, সুতরাং অপর একটি মূল হবে $5 - 2i$।

   এই মূলদ্বয় বিশিষ্ট দ্বিঘাত উৎপাদক:
   $\{x - (5 + 2i)\}\{x - (5 - 2i)\} = (x - 5)^2 - (2i)^2 = x^2 - 10x + 25 + 4 = x^2 - 10x + 29$

   $f(x)$-কে $(x^2 - 10x + 29)$ দ্বারা ভাগ করলে পাই:
   $x^4 - 13x^3 + 61x^2 - 107x + 58 = (x^2 - 10x + 29)(x^2 - 3x + 2)$

   এখন অপর মূলগুলোর জন্য:
   $x^2 - 3x + 2 = 0$
   বা, $(x - 1)(x - 2) = 0$
   বা, $x = 1, 2$

   অতএব, নির্ণেয় মূলগুলো হলো: $1, 2, 5 + 2i, 5 - 2i$।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: HSC Higher Mathematics Creative Questions consist of three sub-parts (ka: 2 marks, kha: 4 marks, ga: 4 marks); the fourth part 'gha' is non-existent in the actual board question. | Repetitive text in stimulus and sub-questions is treated as typographic rendering duplication.

   দেওয়া আছে, $g(x) = \frac{1 + x}{\sqrt{1 - 2x}} = (1 + x)(1 - 2x)^{-1/2}$

   $(1 - 2x)^{-1/2}$-এর বিস্তৃতি:
   $(1 - 2x)^{-1/2} = 1 + \left(-\frac{1}{2}\right)(-2x) + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}(-2x)^2 + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}(-2x)^3 + \cdots$
   $= 1 + x + \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{2}x^3 + \cdots$

   অতএব,
   $g(x) = (1 + x)\left(1 + x + \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{2}x^3 + \cdots\right)$

   $g(x)$-এর বিস্তৃতিতে $x^3$-এর সহগ:
   $= 1 \times \frac{5}{2} + 1 \times \frac{3}{2} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = 4$।