উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে z = sin x বা x = sin⁻¹(z)।
   অতএব, u = z^x = z^{sin⁻¹(z)}
   ln u = sin⁻¹(z) ln z
   z এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   (1/u) * d/dz (u) = d/dz [sin⁻¹(z) ln z]
   = (1/√(1 - z²)) * ln z + sin⁻¹(z) * (1/z)
   সুতরাং, d/dz (z^x) = z^x [ (ln z)/√(1 - z²) + (sin⁻¹(z))/z ]।
   (বিকল্পভাবে, যদি x কে z-এর নিরপেক্ষ ধ্রুবক বিবেচনা করা হয়, তবে d/dz (z^x) = x z^{x-1})।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $f(x) = \frac{1}{z} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$
   মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে,
   $\frac{d}{dx}[f(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sin(x+h)} - \frac{1}{\sin x}}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x - \sin(x+h)}{h \sin(x+h) \sin x}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{2\cos(x + h/2)\sin(-h/2)}{h \sin(x+h)\sin x}$
   $= -\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h/2)}{h/2} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x + h/2)}{\sin(x+h)\sin x}$
   $= -1 \cdot \frac{\cos x}{\sin x \cdot \sin x}$
   $= -\operatorname{cosec} x \cot x$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, z = sin x => x = sin⁻¹(z)
   আবার, y = x² = (sin⁻¹ z)²
   z এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   dy/dz = 2 (sin⁻¹ z) * (1/√(1 - z²))
   বা, √(1 - z²) (dy/dz) = 2 sin⁻¹ z
   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   (1 - z²) (dy/dz)² = 4 (sin⁻¹ z)² = 4y
   z এর সাপেক্ষে পুনরায় অন্তরীকরণ করে পাই,
   -2z (dy/dz)² + (1 - z²) * 2 (dy/dz) * (d²y/dz²) = 4 (dy/dz)
   উভয়পক্ষকে 2 (dy/dz) দ্বারা ভাগ করে পাই,
   (1 - z²) (d²y/dz²) - z (dy/dz) = 2
   অতএব, (1 - z²) (d²y/dz²) - z (dy/dz) - 2 = 0।
   সুতরাং, নির্ণেয় মান 0।