উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প: φ(x)=ax3−42x2+63x−27\varphi(x)=a x^{3}-42 x^{2}+63 x-27 .

  1. ক)

    x2−2bx+(2b2−2bp+p2)=0x^{2}-2 b x+\left(2 b^{2}-2 b p+p^{2}\right)=0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ কর যে, b=p b=p .

    (2)
  2. খ)

    φ(x)=0\varphi(x)=0 সমীকরণের মূলগুলো গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত হলে, সমীকরণটি সমাধান কর। যখন a=8 a=8 .

    (4)
  3. গ)

    যদি a=0 a=0 হয় এবং φ(x)=0\varphi(x)=0 সমীকরণের মূলগুলো β,γ\beta, \gamma হয়, তবে 3−2β3-2 \beta এবং 3−2γ3-2 \gamma মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: x2−2bx+(2b2−2bp+p2)=0x^2 - 2bx + (2b^2 - 2bp + p^2) = 0
    সমীকরণটির মূলদ্বয় সমান হলে এর পৃথায়ক (discriminant), D=0D = 0 হবে।

    এখানে,
    D=(−2b)2−4⋅1⋅(2b2−2bp+p2)=0D = (-2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2b^2 - 2bp + p^2) = 0
    বা, 4b2−4(2b2−2bp+p2)=04b^2 - 4(2b^2 - 2bp + p^2) = 0
    বা, 4[b2−(2b2−2bp+p2)]=04[b^2 - (2b^2 - 2bp + p^2)] = 0
    বা, b2−2b2+2bp−p2=0b^2 - 2b^2 + 2bp - p^2 = 0
    বা, −b2+2bp−p2=0-b^2 + 2bp - p^2 = 0
    বা, −(b2−2bp+p2)=0-(b^2 - 2bp + p^2) = 0
    বা, (b−p)2=0(b - p)^2 = 0
    বা, b−p=0b - p = 0
    ∴b=p\therefore b = p (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, φ(x)=ax3−42x2+63x−27\varphi(x) = ax^3 - 42x^2 + 63x - 27
    a=8a = 8 হলে, φ(x)=0\varphi(x) = 0 সমীকরণটি দাঁড়ায়:
    8x3−42x2+63x−27=08x^3 - 42x^2 + 63x - 27 = 0

    যেহেতু মূলগুলো গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত, তাই ধরি মূল তিনটি pr,p,pr\frac{p}{r}, p, pr।

    মূলত্রয়ের গুণফল:
    pr⋅p⋅pr=−−278\frac{p}{r} \cdot p \cdot pr = -\frac{-27}{8}
    বা, p3=278p^3 = \frac{27}{8}
    ∴p=32\therefore p = \frac{3}{2}

    যেহেতু p=32p = \frac{3}{2} সমীকরণটির একটি মূল, তাই মূলগুলোর যোগফল হতে পাই:
    pr+p+pr=−−428=428=214\frac{p}{r} + p + pr = -\frac{-42}{8} = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}

    p=32p = \frac{3}{2} বসিয়ে পাই,
    32(1r+1+r)=214\frac{3}{2}\left(\frac{1}{r} + 1 + r\right) = \frac{21}{4}
    বা, 1r+1+r=214×23=72\frac{1}{r} + 1 + r = \frac{21}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{7}{2}
    বা, 1r+r=72−1=52\frac{1}{r} + r = \frac{7}{2} - 1 = \frac{5}{2}
    বা, r2+1r=52\frac{r^2 + 1}{r} = \frac{5}{2}
    বা, 2r2+2=5r2r^2 + 2 = 5r
    বা, 2r2−5r+2=02r^2 - 5r + 2 = 0
    বা, 2r2−4r−r+2=02r^2 - 4r - r + 2 = 0
    বা, 2r(r−2)−1(r−2)=02r(r - 2) - 1(r - 2) = 0
    বা, (2r−1)(r−2)=0(2r - 1)(r - 2) = 0
    ∴r=2\therefore r = 2 অথবা r=12r = \frac{1}{2}

    যদি r=2r = 2 হয়, মূল তিনটি হবে:
    3/22,32,32×2  ⟹  34,32,3\frac{3/2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\times 2 \implies \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 3

    যদি r=12r = \frac{1}{2} হয়, মূল তিনটি হবে:
    3/21/2,32,32×12  ⟹  3,32,34\frac{3/2}{1/2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\times \frac{1}{2} \implies 3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}

    অতএব, সমীকরণটির নির্ণেয় মূলগুলো: 34,32,3\frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 3।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    a=0a = 0 হলে, φ(x)=0\varphi(x) = 0 সমীকরণটি হয়:
    0⋅x3−42x2+63x−27=00\cdot x^3 - 42x^2 + 63x - 27 = 0
    বা, −42x2+63x−27=0-42x^2 + 63x - 27 = 0
    বা, −3(14x2−21x+9)=0-3(14x^2 - 21x + 9) = 0
    বা, 14x2−21x+9=014x^2 - 21x + 9 = 0

    প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় β\beta ও γ\gamma।
    ∴β+γ=−−2114=32\therefore \beta + \gamma = -\frac{-21}{14} = \frac{3}{2}
    এবং βγ=914\beta\gamma = \frac{9}{14}

    যে সমীকরণের মূলদ্বয় 3−2β3 - 2\beta এবং 3−2γ3 - 2\gamma, তার ক্ষেত্রে:
    মূলদ্বয়ের যোগফল SS:
    S=(3−2β)+(3−2γ)=6−2(β+γ)=6−2(32)=6−3=3S = (3 - 2\beta) + (3 - 2\gamma) = 6 - 2(\beta + \gamma) = 6 - 2\left(\frac{3}{2}\right) = 6 - 3 = 3

    মূলদ্বয়ের গুণফল PP:
    P=(3−2β)(3−2γ)=9−6(β+γ)+4βγP = (3 - 2\beta)(3 - 2\gamma) = 9 - 6(\beta + \gamma) + 4\beta\gamma
    =9−6(32)+4(914)= 9 - 6\left(\frac{3}{2}\right) + 4\left(\frac{9}{14}\right)
    =9−9+187=187= 9 - 9 + \frac{18}{7} = \frac{18}{7}

    অতএব, নির্ণেয় সমীকরণটি হলো:
    x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0
    বা, x2−3x+187=0x^2 - 3x + \frac{18}{7} = 0
    বা, 7x2−21x+18=07x^2 - 21x + 18 = 0।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন