গাণিতিক যুক্তি প্রশ্ন

ধাপ ১: দেওয়া আছে, $\triangle PQR$-এর $\angle Q = 90^\circ$। এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
ধাপ ২: ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
অতএব, $\angle P + \angle Q + \angle R = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle P + 90^\circ + \angle R = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle P + \angle R = 90^\circ$

ধাপ ৩: প্রশ্নমতে, $\angle P = 2\angle R$। এই মানটি বসালে পাই:
$2\angle R + \angle R = 90^\circ$
$\Rightarrow 3\angle R = 90^\circ$
$\Rightarrow \angle R = 30^\circ$
অতএব, $\angle P = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$।

ধাপ ৪: ত্রিকোণমিতির সূত্রানুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজে $30^\circ$ কোণের বিপরীত বাহু অতিভুজের অর্ধেক হয়।
এখানে, $30^\circ$ কোণটি হলো $\angle R$। এর বিপরীত বাহু হলো $PQ$ এবং অতিভুজ হলো $PR$।
অতএব, $PQ = \frac{1}{2} PR$
$\Rightarrow PR = 2PQ$।

একই ধরনের প্রশ্ন:
১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের অনুপাত ১:২ হলে, ক্ষুদ্রতম বাহু ও অতিভুজের অনুপাত কত? (উত্তর: ১:২; সমাধান: ক্ষুদ্রতম কোণ $30^\circ$ হলে বিপরীত বাহু $x$ এবং অতিভুজ $2x$ হবে।)