গাণিতিক যুক্তি প্রশ্ন

মূল ব্যাখ্যা

ধারাটি লক্ষ্য করি:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{9} - \dots$
(প্রশ্নপত্রের টাইপোতে $2/7$ এসেছে, যা আসলে পরবর্তী পদ $-\frac{2}{27}$ বা গুণোত্তর ধারা বজায় রাখার জন্য তৈরি হওয়া পদের ত্রুটিপূর্ণ রূপ)।

এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা যার:
প্রথম পদ, $a = \frac{1}{4}$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{-\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{6} \times 4 = -\frac{2}{3}$

যেহেতু $|r| = |-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3} < 1$, তাই ধারাটির অসীম সমষ্টি বিদ্যমান।

অসীম সমষ্টির সূত্র:
$S_\infty = \frac{a}{1 - r}$
$S_\infty = \frac{\frac{1}{4}}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{3}}$
$S_\infty = \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{20}$

অতএব, সঠিক উত্তর (খ) $S_\infty = 3/20$।

একই ধরনের প্রশ্ন:
প্রশ্ন: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots$ অসীম ধারাটির সমষ্টি কত?
উত্তর: $2$ (সমাধান: $\frac{1}{1 - 1/2} = 2$)